Beweise: Es gibt eine Abbildung wenn f surjektiv ist

Question

Aufgabe:

Sei f : X → Y eine Allbildung. Die identische Abbildung lX : X → X ist die Funktion mit lX (x) = x. Beweise:
(a) Es gibt eine Abbildung h : Y → X so dass f ◦ h = 1lY genau dann, wenn f surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Y geht ja durch h auf X und durch f dann wieder auf Y identisch zurück. Das nur wenn f surjektiv ist, da alle werte genau identisch abgebildet werden müssen, da dir Verkettung y identisch abbildet, muss f ja die Umkehrabbildung sein…aber wie beweise ich das? Danke schonmal für die Hilfe.

Answer 1

⇒: Angenommen \(f\) ist nicht surjektiv.

Sei \(y\in Y\) mit \(f(x)\neq y\) für alle \(x\in X\).

Begründe warum so ein \(y\) existiert.

Begründe warum

        \(f(h(y))\neq y\)

ist.

⇐: Angenommen \(f\) ist surjektiv.

Sei \(x_y\in X\) mit \(f(x_y) = y\) für jedes \(y\in Y\).

Begründe warum für jedes \(y\in Y\) ein passendes \(x_y\) existiert.

Sei

        \(h:Y\to X, y\mapsto x_y\).

Begründe warum

        \(f(h(y)) =  y\)

für jedes \(y\in Y\) ist.