Hilfe bei den ganzen Zahlen

Question

Aufgabe: Sachanalyse der ganzen Zahlen

Problem/Ansatz: Ich muss eine Sachanalyse der ganzen Zahlen schreiben und dort müssen Zahlenpaare und Äquivalenzklassen erklärt werden. Ich kriege den Zusammenhang nicht ganz verdeutlicht.

Comments

Wie lautet die Aufgabenstellung im Original?

---

Es gibt keine genaue Fragestellung, ich soll die ganzen Zahlen quasi definieren und dabei auf äquivalenzklassen und zahlenpaare eingehen

Answer 1

Ich muss eine Sachanalyse der ganzen Zahlen schreiben und dort müssen Zahlenpaare und Äquivalenzklassen erklärt werden.

Das ist eher ungewöhnlilch. Normalerweise werden in einer Sachanalyse der ganzen Zahlen ganze Zahlen erklärt und dabei vorausgesetzt, dass Zahlenpaare und Äquivalenzklassen dem Leser bekannt sind.

Ich kriege den Zusammenhang nicht ganz verdeutlicht.

Hier ist der Zusammenhang zwischen Äquivalenzklassen und ganzen Zahlen:

Definition. Die Relation \(\sim\ \subseteq\mathbb{N_0}^{2}\times\mathbb{N_0}^{2}\) auf \(\mathbb{N_0}^{2}\) ist definiert durch

        \(\begin{aligned} (n,m)\sim(n',m') & \iff n+m'=m+n'\text{.} \end{aligned}\)

Satz. Die Relation \(\sim\) ist eine Äquivalenzrelation.

Definition (Menge der ganzen Zahlen). Die Menge \(\mathbb{Z}\) der ganzen Zahlen ist die Menge der Äquivalenzklassen von \(\sim\).

Definition (Rechenarten der ganzen Zahlen). Für alle \([(n,m)],[(n',m')]\in\mathbb{Z}\) ist

        \(\begin{aligned} [(n,m)]+_\mathbb{Z}[(n',m')] & \coloneqq[(n+_\mathbb{N}n',m+_\mathbb{N}m')]\\ [(n,m)]-_\mathbb{Z}[(n',m')] & \coloneqq[(n,m)]+_\mathbb{Z}[(m',n')]\\ [(n,m)]\cdot_\mathbb{Z}[(n',m')] & \coloneqq[(n\cdot_\mathbb{N}n'+_\mathbb{N}m\cdot_\mathbb{N}m',n\cdot_\mathbb{N}m'+_\mathbb{N}n'\cdot_\mathbb{N}m)] \end{aligned}\)

Satz. Die Rechenarten \(+_\mathbb{Z}\) und \(\cdot_\mathbb{Z}\) sind durch obige Definition wohldefiniert.

Definition (Ordnung). Für alle \([(n,m)], [(n',m')]\in\mathbb{Z}\) ist

        \([(n,m)]\leq_{\mathbb{Z}} [(n',m')]\ {:\iff}\ n+_{\mathbb{N}}m'\leq_\mathbb{N} n'+_{\mathbb{N}_0}m\).

Satz. Die Ordnung \(\leq_{\mathbb{Z}}\) ist wohldefiniert und eine schwache Totalordnung.

Definition (Gegenzahl). Für jedes \([(n,m)]\in\mathbb{Z}\) heißt \([(m,n)]\) Gegenzahl von \([(n,m)]\).

Satz (Einbettung von \(\mathbb{N}_0\) in \(\mathbb{Z}\)). Sei \(\mathbf{N}_0 = \{[(n,0)]\in \mathbb{Z}|\,n\in \mathbb{N}_0\}\). Dann ist \((\mathbb{N}_0,+_\mathbb{N},\cdot_\mathbb{N},\leq_\mathbb{N})\) isomorph zu \((\mathbf{N}_0,+_\mathbb{Z} |_{\mathbf{N}_0},\cdot_{\mathbb{Z}} |_{\mathbf{N}_0},\leq_{\mathbb{Z}} |_{\mathbf{N}_0})\).

Notation. Für jedes \(n\in \mathbb{N}_0\) wird die Äquivalenzklasse \([(n,0)]\) mit \(n\) bezeichnet. Für jedes \(z\in \mathbb{Z}\) wird die Gegenzahl von \(z\) mit \(-z\) bezeichnet.

Comments

Beeindruckend!

---

Fingerübung!

Answer 2

Die ganzen Zahlen sind entstanden, um bisher unlösbare Subtraktionsaufgaben lösbar zu machen.

Jedem geordnete Zahlenpaar natürlicher Zahlen mit der gleichen Differenz kann die gleiche ganzen Zahl zugeordnet werden.

Beispielsweise gehören die Zahlenpaare (10, 13), (5, 8), (100, 103) und (22,25) alle der gleichen Äquivalenzklasse an (nämlich genau der Äquivalenzklasse, die die ganze Zahl -3 definiert.

Aber dazu müsstest du in deinen Unterlagen eine entsprechende Definition finden?

Comments

Leider nicht, hast du entsprechende Quellen?

---

Die Aufgabenstellung erfolgte doch nicht aus dem Vakuum heraus. Was ist gerade aktueller Stoff?

PS: Ja, ich habe Quellen:

https://www.google.com/search?client=opera&q=ganze+Zahl+als+Äquivalezklasse&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8

---

Die ganzen Zahlen sind entstanden, um bisher unlösbare Subtraktionsaufgaben lösbar zu machen.

Was soll BISHER bedeuten? Bis zu welcher Zeit?

BISHER = bis heute und das ist definitiv falsch.

Wenn schon, dann bitte präzise.

In der Praxis waren sie längst lösbar seit es die Schuldenwirtschaft gibt.

Man nannte das eine Guthaben (später: schwarze Zahlen), das an

dere Schulden (rote Zahlen)

Es gab nur keinen abstrakten Begriff für die roten Zahlen, der das hätte ausdrücken

können. Jeder konnte aber mit dem Problem umgehen (Schuldschein).

Heute ist man im Minus, früher hatte man Schulden.

Die negativen Zahlen gehen auf die Chinesen zurück (ca. 2. Jh. vor Christus).

Da waren die Chinesen mal wieder schneller, sowie sie das auch heute in

vielen Bereichen sind und Europa auslachen und erobern ohne Waffen, indem

sie es aufkaufen oder ökonomisch schwächen.

Deutschland ist mehr auf China angewiesen als umgekehrt.

Wenn China hustet, holt sich Europa u.a. eine veritable ökonomische Grippe.

---

@ggT

Die Antwort war für abfubweuf gedacht. Es lässt sich halt nicht verhindern, dass auch du sie liest und dann deine üblichen Tiraden abgibst.

Mit etwas Grundintelligenz hättest du aus dem Sachzusammenhang übrigens darauf schließen können, dass mit "bisher" gemeint sein könnte: "bevor man ganze Zahlen definiert und eingeführt hat".

---

Mit etwas Grundintelligenz hättest du aus dem Sachzusammenhang übrigens darauf schließen können, dass mit "bisher" gemeint sein könnte

In der Mathematik gibt es kein KÖNNTE unter Profis.

Wenn Sie sich nicht klar ausdrücken können, obwohl das hier leicht möglich wäre,

haben Sie ein Problem, nicht ich.

Die Grundintelligenz-Polemik hätten Sie sich sparen können.

Sie ist weder witzig noch angebracht, sondern wieder Ausdruck Ihrer

arroganten anti-pädogogischen Art, Ihre billigen Pöbeleien abzusondern,

die ich einfach nur widerlich und primitiv finde.

Einen Kontext,der Ihren falschen Sprachgebrauch rechtfertigen könnte, gibt

es so nicht.

Was Ihnen fehlt, ist ein Grundanstand, Fairness und Sozialkompetenz.

Nehmen Sie Nachhilfe z.B. beim Mathecoach, vlt. macht er es gratis.

Vom Erfolg würde das Forum profitieren, weil dann diese ekelige Zofferei

vlt. ein Ende hätte.

---

@Monty:

Die Krähentheorie gilt immer, auch unter (Mathe-)Lehrern, vlt. da besonders.

Objektivität ist nicht so dein Ding, gell?

---

@ggT22:
Dein Beitrag ist vollkommen überflüssig.
Aber vielleicht hast du einfach keine Ahnung, wie man die
ganzen Zahlen sauber mithilfe der als bereits
existent vorausgesetzten natürlichen Zahlen mit
sauberen mengentheoretischen Mitteln konstruieren kann.
Dann solltest du aber in dieser Sache lieber den Mund halten.

Dass negative Zahlen in der Algebra vor ca. 1400/1500
kein Problem gewesen seien, ist historisch falsch:

siehe z.B.:https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/ganze-zahlen-historisches#:~:text=In%20Europa%20wurden%20negative%20Zahlen,%E2%80%9Eabsurde%20und%20fiktive%20Gebilde%E2%80%9C.

---

gibt es kein KÖNNTE unter Profis.

Ich versuchte ja aber, es DIR zu erklären.

---

Da der Umgang mit negativen Zahlen in der Algebra
lange Zeit "fragwürdig" war,
musste man für 4 Arten quadratischer Gleichungen
Lösungsmethoden bereitstellen:
1. \(x^2+px+q=0\;\), 2. \(x^2+q=px\),
3. \(x^2+px=q\;\) und 4. \(x^2=px+q\) mit
positiven \(p,q\).

---

@ggT22

Objektivität ist nicht so dein Ding, gell?

Ich habe deinen von mir markierten Beitrag gelesen und keinen Bezug zur konkreten Frage gefunden.
Mir schien, es ginge dir nur darum, Dampf abzulassen. Da das dem Fragesteller überhaupt nicht nützt, sehe ich den Beitrag als Spam an.

---

Da das dem Fragesteller überhaupt nicht nützt, sehe ich den Beitrag als Spam an.

Gute Idee ;-)

---

Gute Idee ;-)

wenn nur unmittelbarer Bezug zur eingestellten Frage und Nutzen für den FS Kriterien für die Daseinsberechtigung von Kommentaren wären, müsste auch dein Beitrag über die vier Arten quadratischer Gleichungen als Spam markiert werden.

---

Der FS kann meinen Beitrag nutzen, um zu zeigen, wie

umständlich Algebra ist, wenn kein gutes Konzept

für negative Zahlen existiert. Das wäre ein Beispiel, das er unter

anderen als historischen Hintergrund in seine Ausarbeitung

einbringen könnte.

---

Dass negative Zahlen in der Algebra vor ca. 1400/1500
  kein Problem gewesen seien, ist historisch falsch:

Es gab zumindest ein Bewusstsein.
Man kannte den Unterschied zwischen Guthaben und Schulden, dass das eine
das Gegenteil vom anderen ist.
Wie man das formal darstellt, ist eine andere Sache.

Das Bewusstwerden ist die Basis für eine spätere Formalisierung.
Man macht sich Gedanken, wie man das machen könnte.

Du übersiehst diesen wichtigen Aspekt.
Etwas psychologisches Denken täte Mathematiker manchmal gut,
in diesen Fall auch dir.

Die Mathematik ist nicht vom Himmel gefallen, sondern ursprünglich aus
aus rein praktischen Lebensbewältigungsbedürfnisse entstanden.
Das scheinen die meisten heutigen abgespaceten Abstraktionsfanatiker immer wieder zu vergessen.

Alle Wissenschaft ging von der Lebenswelt aus und dem Versuch,
diese besser zu bewältigen.
Ohne die besondere,evolutive Gehirnentwicklung beim homo sapiens
gäbe es keine Wissenschaft. Und die beruht wieder wie alles auf der Welt letztlich auf unendlichen vielen Zufällen mir knallharten Aussiebprozessen.
Mutation und Selektion,kulturellen Veränderungen, Umwelteinflüssen u.v.m.haben auch den heutigen Menschen hervorgebracht, das einziges Lebewesen, das sehenden Auges seinen Lebensraum zerstört.

Hätte Theia nicht eingeschlagen, ....

Falsch war schon vieles, was man lange als gesichert ansah, bevor es neue Erkenntnisse widerlegten (Paradigmawechsel) und als naiven Unsinn entlarvten wie z.B. die 7-Tage-Schöpfung, der Transferäther, die Mittelpunktstellung der Erde im Kosmos, die Großartigkeit des Menschen, der zur Bestie werden kann, und, und, und.

Ob dein Lernhelfer dafür die beste Quelle ist für die Geschichte der Mathematik, bezweifle ich.
Vlt. gibt es längst differenziertere Erkenntnisse.

Im Übrigen ist der Beitrag offensichtlich nicht überflüssig:
Er regt zur Diskussion an und leider auch zur Polemik gegen mich wie so oft.

Wer erstere nicht will, braucht sich daran nicht zu beteiigen.
Aus Diskussionen kann man viel lernen - im Positiven wie im Negativen.

Semper aliquid haeret .
Möge es meist. Nützliches sein und v.a. Polemikfreies und von Toleranz Geprägtes.

Zudem: Muss alles immer konkreten Nutzen haben?
Wem schadet eine Diskussion? Foren sin auch dazu da,
nicht bloß Aufgaben lösen helfen oder Komplettlösungen zu liefern,
wenn sinnvoll und gewünscht.
Dispute bringe Leben in die oft trockene Mathebude, in der man

manchmal das Gefühl hat, da antworten KIs ohne Einfühlungsvermögen

und Drang, jede menschliche Schwächen an den Pranger stellen zu müssen

ohne Rücksicht auf Angemessenheit und Fairness.

Danke an hj, der wieder einmal in seiner Scharfsinnigkeit einen Widerspruch
erkannt und polemikfrei aufgezeigt hat.
Man kann denken über ihn, will man will, sachlich ist er unschlagbar
und ohne Vorurteile, wenn es um Kritik geht. Er ist keine Lehrerkollegen-Krähe,
"kräht" nur, wenn es um die Sache geht, aber nicht im Sinn von Unterstützung

fragwürdiger, Zoff provozierender Kommentatoren, sondern als knallharterLogiker, dem man nichts vormachen kann.

Irgendwie beginne ich, eine gewisse Sympathie für ihn zu hegenund ihn vlt. ein wenig besser zu verstehen.

In diesem Sinn entschuldige ich mich bei ihm für die eine oder andere Reaktion auf seine Antworten.

Ich denke, dass er es nie wirklich böse oder boshaft meint,auch wenn es so verstanden werden könnte, wenn man mit seiner Art grundsätzliche Probleme hat.

Lange Rede, kurzer Sinn:

Ich hoffe auf bessere Zeiten - trotz ständiger Rückschläge.

---

Zudem: Muss alles immer konkreten Nutzen haben?

Bist du nicht derjenige, desen Credo immer ein starkes "JA!" auf diese Frage gewesen ist ?

---

Dass negative Zahlen in der Algebra vor ca. 1400/1500
kein Problem gewesen seien, ist historisch falsch:

Es gab zumindest ein Bewusstsein.

Man kannte den Unterschied zwischen Guthaben und Schulden, dass das eine

das Gegenteil vom anderen ist.

Wie man das formal darstellt, ist eine andere Sache.

Das Bewusstwerden ist die Basis für eine spätere Formalisierung.

Man macht sich Gedanken, wie man das machen könnte.

Du übersiehst diesen wichtigen Aspekt.

Etwas psycholisches Denken täte manchem Mathematiker gut,

in diesen Fall auch dir.

Die Mathematik ist nicht vom Himmel gefallen, sondern

aus praktischen Bedürfnisse entstanden.

Das scheinen die meisten abgespaceten Abstraktionsfanatiker immer wieder zu vergessen.

Alle Wissenschaft geht von der Lebenswelt aus und dem Versuch,

diese besser zu bewältigen.

Ohne die besondere,evolutive Gehirnentwicklung beim homo sapiens

gäbe es keine Wissenschaft. Und beruht wieder auf vielen Zufällen.

Mutation und Selektion,kulturellen Veränderungen, Umwelteinflüssen u.v.m.

Historisch falsch war schon vieles, was man als gesichert ansah..

Vlt. sind wir auch hier noch nicht ans Ende der Erkenntnisse gelangt

wie in vielen Bereichen, wo neue Funde zu anderen Erkenntnissen

und Schlussfolgerungen und Interpretationen führen.

Ob dein Lernhelfer dafür die beste Quelle ist, bezweifle ich.

Vlt. gibt es längst differenziertere Erkenntnisse.

Im Übrigen ist der Beitrag offensichtlich nicht überflüssig:
Er regt zur Diskussion an und leider auch zur Polemik gegen mich.

Wer ersteres nicht will, braucht sich daran nicht zu beteiigen.

Aus Diskussionen kann man viel lernen - im Positiven wie im Negativen.

Semper aliquid haeret .

Möge es v.a. Nützliches sein und v.a. Polemikfrei und von Toleranz Geprägtes.

Zudem: Muss alles immer konkreten Nutzen haben?

Wem schadet eine Diskussion? Foren sin auch dazu da,

nicht bloß Aufgaben lösen helfen oder Komplettlösungen zu liefern,

wenn sinnvoll und gewünscht.

Danke an hj, der wieder einmal in seiner Scharfsinnigkeit einen Widerspruch

erkannt und polemikfrei aufgezeigt hat.

Man kann denken über ihn, will man will, sachlich ist er unschlagbar

und ohne Vorurteile, wenn es um Kritik geht. Er ist keine Krähe,

"kräht" nur, wenn es um die Sache geht, aber nicht im Sinn von

Lehrerkollegen-Protektion.

---

Etwas psycholisches Denken täte manchem Mathematiker gut,

in diesen Fall auch dir.

Interessant! Psychologie in der Doktor-Prüfung
und jahrelange Praxis als Supervisor
zweier Psychotherapeuten scheint nicht zu reichen!

---

Wie man das formal darstellt, ist eine andere Sache.
Das Bewusstwerden ist die Basis für eine spätere Formalisierung.
Man macht sich Gedanken, wie man das machen könnte.
Du übersiehst diesen wichtigen Aspekt.

Das tue ich keineswegs und ich verstehe nicht,
wie du darauf kommst!

---

Interessant! Psychologie in der Doktor-Prüfung
und jahrelange Praxis als Supervisor
zweier Psychotherapeuten scheint nicht zu reichen

Du wissenschaftl. Psychologie braucht man hier nicht.

Es reicht die Volkspsychologie = die einfache Überlegen, woher das Problem

aus der Praxis stammt/ stammen könnte.

vgl.

https://www.friedrich-verlag.de/friedrich-plus/sekundarstufe/mathematik/zahlen-groessen/ein-blick-in-die-geschichte-187

Ich fand noch dies:

Negative Zahlen wurden erstmals in dem chinesischen Mathematikbuch „Neun Kapitel der Rechenkunst“ (Jiǔ Zhāng Suànshù, ca. 2. Jahrhundert vor Christus) erwähnt. In dem Buch wird das chinesische Zahlensystem erklärt, bei dem rote Stäbchen für positive Zahlen und schwarze Stäbchen für negative Zahlen benutzt werden.

---

Du hast mich doch angegriffen!
Das Konzept der ganzen Zahlen war in der Algebra
keineswegs geklärt. Daher war ja auch das Prinzip
der doppelten Buchführung, das von Italien aus
über das Handelshaus der Fugger nach Deutschland
gekommen war, so eine starke Neuerung, da hier die Buchungen
nur mit positiven Beträgen stattfanden.

Du hast mir nicht zugetraut, dass ich diese einfachen
Überlegungen auf die Reihe kriegen könnte?
Weil ausgebildete Psychologen einfache Dinge
nicht verstehen?

---

vgl.

https://www.friedrich-verlag.de/

Dieser Verlag ist ein rotes Tuch für mich. Sie haben mit ihrer glücklosen Übernahme den ersten Sargnagel in die mathematische Schülerzeitschrift "alpha" geschlagen, bevor der nächste Verlag diese Zeitschrift endgültig zugrunde gerichtet hat.

---

Du hast mich doch angegriffen!

Ich wollte dich nicht angreifen, sondern nur anmerken, dass

man auch erstmal ganz einfach denken kann.

Wann ist was warum im Leben wie entstanden?

---

Warum sollte ich nicht einfach denken?
Es geht doch nicht darum, ob die Menschen seit mehr als
4000 Jahren mit Guthaben und Schulden nicht hätten
umgehen können, sondern in dem Gebiet der Algebra gab es
bis ca. 1400/1500 kein sauberes Konzept für ganze Zahlen.
Davon habe ich gesprochen und der
Fragesteller / die Fragestellerin soll ein sauberes Konzept
für die Existenz und das "Wesen" der ganzen Zahlen
nach heutigem mathematischen "Qualitäts-Standard"
vorstellen.

---

Mir ging es darum zu sagen, dass die Menschen schon früh unbewusst

mit negativen Zahlen gerechnet bzw. in ihnen gedacht haben,

bevor man ein sauberes Konzept dafür hatte, ohne das man

offensichtlich im Leben gut zurecht kam.

Es bezog sich auf Die ganzen Zahlen sind entstanden, um bisher unlösbare Subtraktionsaufgaben lösbar zu machen.diese Aussage von abakus:

In der Praxis waren solche Aufgaben lange vorher lösbar - ohne

algebraisches Konzept.

---

In der Praxis waren solche Aufgaben lange vorher lösbar - ohne
algebraisches Konzept.

Statt "solche Aufgaben" würde ich eher "viele solcher Aufgaben"
bejahen.
Willst du uns nun sagen, dass es überflüssig war,
das Konzept der ganzen Zahlen algebraisch zu konsolidieren?

---

Willst du uns nun sagen, dass es überflüssig war,
das Konzept der ganzen Zahlen algebraisch zu konsolidieren?

Um Himmelswillen NEIN.

Eine solide, axiomatische Basis muss immer das Ziel sein.

Nochmal: Ich wollte nur sagen: Im real life kommt man oft auch ohne

theoretische Konzepte aus, weil man weiß, wie man praktische Probleme

pragmatisch löst.

Ich muss die Herkunft des Computers nicht kennen, um ihn benutzen zu können,

wofür er ja geschaffen wurde: z-B. große Datenmengen zu verarbeiten und

aufwändige Rechenoperationen schnellst möglich zu bewältigen.

Und auch um damit Profit zu machen ohne sich abrackern zu müssen

oder reale Werte zu schaffen (Intra-day-trading, Kaufen und Verkaufen

in Millisekunden u.ä.)

---

Im real life kommt man oft auch ohne
theoretische Konzepte aus, weil man weiß, wie man praktische Probleme
pragmatisch löst.

Da stimme ich dir zu.

---

Dann sind wir mal wieder d'accord.

Tut irgendwie gut und ist ein schöner Abschluss.

Mir dir kann man wenigstens polemikfrei und rein sachlich diskutieren.

An deiner Kompetenz habe und hatte ich nie Zweifel.

Die bist ein Profi und guter Erklärer.

Du schöpfst aus dem Vollen, mein background kann da nicht mithalten.