Wie muss q gewählt werden, damit die Folge gegen 4 konvergiert?

Question

Gegeben sei die reelle Zahlenfolge (a_n)n∈N mit

∑(k=0, n) 2/q^k

für einen Parameter q. Wie muss q gewählt werden, damit a_n gegen 4 konvergiert?

Ich weis, dass die Lösung 2 ist, nicht aber wie man darauf kommt.

Danke im Voraus

Answer 1

Hallo,

Ich weis, dass die Lösung 2 ist, nicht aber wie man darauf kommt.

falls Du die geometrische Reihe nicht kennst, so setze den Ausdruck gleich 4 und multipliziere die Gleichung mit \(q\) und ziehe davon das Original ab:$$\begin{aligned} 4 &=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{2}{q^{k}} &&|\,\cdot q&&(1)\\ 4q &=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{2}{q^{k-1}} && &&(2)\\ 4q-4&= \frac{2}{q^{-1}}&& &&(2)-(1) \\ 4q-4&= 2q &&|\,+4-2q\\ 2q &= 4 &&|\,\div 2\\ \implies q&=2 \\ \end{aligned}$$

Answer 2

Wenn Du den Faktor 2 aus der Summe ziehst, solltest Du den Rest als geometrische Summe erkennen (Potenzrechenregeln!). Deren Grenzwert ist bekannt, den also =2 setzen und nach q umstellen.

Answer 3

∑ (k = 0 bis n) (2/q^k) = 2·q/(q - 1) - 2·q^(-n)/(q - 1)

2·q/(q - 1) = 4 --> q = 2

Answer 4

2/q^k = 2/z

2/(1-1/z) = 4

2= 4 - 4/z

4/z = 2

z= 2

q^k = z

q^1 = z= 2

q= 2