Aloha :)
"Echt gebrochener" Anteil bedeutet, dass der Grad des Zähler-Polynoms kleiner als der Grad des Nenner-Polynoms ist. Unser Ziel ist also, die Terme entsprechend umzuformen.
zu 1) Wir führen den ersten Schritt der Polynom-Division durch:
$$\quad\quad\!\!(\red{8x^3}-8x^2-32x+32)\div(\red{x^3}-2x^2-11x+12)=\red 8$$$$-\red8\cdot(\red{x^3}-2x^2-11x+12)$$$$=\quad\quad\quad\quad\!8x^2+56x-64$$
Der Grad des Rest-Polynoms \((8x^2+56x-64)\) ist \(2\).
Der Grad des Divisor-Polynoms \((x^3-2x^2-12x+12)\) ist \(3\).
Damit bist du fertig:$$f(x)=\frac{8x^3-8x^2+32x+32}{x^3-2x^2-11x+12}=\color{blue}8+\frac{8x^2+56x-64}{x^3-2x^2-11x+12}$$
Der Bruch in dem blauen Term geht für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\), übrig bleibt die Asymptote \(\color{blue}8\).
zu 2) Wir führen auch hier wieder eine Polynom-Division durch:$$\quad\quad\!\!(\pink{x^3}-x^2-4x+4)\div(\pink{5x^2}-30x+25)=\pink{\frac x5}+\green{1}$$$$-\pink{\frac x5}\cdot(\pink{5x^2}-30x+25)$$$$=\quad\quad\quad\!\!\green{5x^2}-9x+4$$$$-\green1\cdot(\pink{5x^2}-30x+25)$$$$=\quad\quad\quad\quad\;21x-21$$
Der Grad des Rest-Polynoms \((21x-21)\) ist \(1\).
Der Grad des Divisor-Polynoms \((5x^2-30x+25)\) ist \(2\).
Damit bist du wieder fertig:$$f(x)=\frac{x^3-x^2-4x+4}{5x^2-30x+25}=\color{blue}\left(\frac x5+1\right)+\frac{21x-21}{5x^2-30x+25}$$
Der hintere Bruch in dem blauen Term verschwindet wieder für \(x\to\pm\infty\), übrig bleibt hier die Gerade \(\color{blue}\left(\frac x5+1\right)\) als Asymptote.
