wie berechne ich die vierte Wurzel aus 81i?

Question

Wie berechne ich die 4. Wurzel aus 81i?

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Teilwurzeln ziehen:

(ab)^(1/4) = a(1/4)*b(1/4)

https://www.wolframalpha.com/input?i=%2881i%29%5E%281%2F4%29

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@ggT22

Mit deiner Eingabe liefert Wolframalpha nur eine Lösung. Es gibt aber vier.

:-)

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Warum nur eine Lösung? Tatsächlich werden alle vier angezeigt.

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Oh, mein Fehler.

Sorry.

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Vielen Dank!

Answer 1

z^4 = 81·i
z^4 = 81·EXP(pi/2·i)
z = 81^{1/4}·EXP((pi/2 + k·2·pi)·i)^{1/4}
z = 3·EXP((1/8·pi + k/2·pi)·i)

Setze jetzt für k die Werte 0, 1, 2 und 3 ein

z0 = 3·EXP((1/8·pi + 0/2·pi)·i) = 3·EXP(1/8·pi·i) ≈ 2.7716 + 1.1481 i
z1 = 3·EXP((1/8·pi + 1/2·pi)·i) = 3·EXP(5/8·pi·i) ≈ -1.1481 + 2.7716 i
z2 = 3·EXP((1/8·pi + 2/2·pi)·i) = 3·EXP(9/8·pi·i) ≈ -2.7716 - 1.1481 i
z3 = 3·EXP((1/8·pi + 3/2·pi)·i) = 3·EXP((13/8·pi·i) ≈ -1.1481 + 2.7716 i

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Vielen Dank! :)

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Beste Antwort, obwohl sie falsch ist.

Der Fehler wurde korrigiert. Ich hatte ja zum Glück nur das /2 vergessen.

Answer 2

Hallo,

3^4=81

Also brauchst du nur noch die Lösungen von

z^4=i

i hat den Betrag 1 und den Winkel π/2.

Der Winkel wird durch 4 dividiert, das ergibt π/8.

Für die anderen drei Lösungen musst du immer π/2 addieren.

\( z_1=3e^{(i \pi) / 8} \approx 3\cdot(0.92388+0.38268 i )\)

 \( z_2=3e^{(i\cdot 5\pi) / 8} \)

 \( z_3=3e^{(i\cdot 9\pi) / 8} \)

\( z_4=3e^{(i\cdot 13\pi) / 8} \)

Den Rest darfst du selbst rechnen.

:-)

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Vielen Dank! :)