Vierte Wurzel aus -4

Question

Gesucht sind alle vierten Wurzeln aus −4.

a) Wieviele sind es? 

b) Geben Sie die Wurzeln in algebraischer

Darstellung an.

Mein Ansatz:

zu a) 2

zu b) 0 + 2 * j

0 - 2 * j

Comments

Alternative: 0 = x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)·(x² - 2x + 2) & pq-Formel.

Answer 1

In C gibt es  immer für z ungleich 0 

n Stück n-te Wurzeln.

Die kannst du z.B. durch Teilung des Winkels und entsprechende

Wurzel aus dem Betrag bestimmen:

Also bei -4  ist Betrag 4 , also hat die 4. Wurzel den Betrag √2.

Winkel von -4 ist 180°, also die 1. vierte Wurzel hat den Winkel  45°.

also z1 =  √2   *  ( cos(45°) + i*sin(45°) )  

=     √2   *  ( √2 / 2 + i*  √2 / 2 ) = 1 + i

Nun kann aber -4 auch zum Winkel 180°+360° vorgestellt werden, also 540°

Davon 1/4 ist  135° , also ist die nächste 4. Wurzel

z2 =   √2   *  ( cos(135°) + i*sin(135°) )

  =   √2   *   ( - √2 / 2 + i*  √2 / 2 ) = -1+i

entsprechend mit  Winkel 180°+2*360°  und  Winkel 180°+3*360°

gibt also 4 Stück 4. Wurzeln.

Comments

Ich kann doch aber auch 180° + 4*360° nehmen, was dann die 5. Wurzel wäre oder 180° + 5*360°, was dann die 6. Wurzel wäre. Wo ist da die Grenze?

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Dann tu das mal, da bekommst du bei 180° + 4*360° =1620°

Davon der 4. Teil wäre 405° und das ist der gleiche Winkel wie 45°,

gibt also nix neues mehr.

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Danke für diese Erklärung.

Answer 2

Vierte Wurzel aus -4

allgemein:

z =√ (Realteil)^2 +Imaginärteil)^2)

tan φ =Imaginärteil/Realteil

a) 4 Stück

b) siehe Rechnung