Ich habe folgende Aufgabe und wenn ich mir die anschaue verstehe ich nur Bahnhof.
Kann mir jemand von euch etwas die Herangehensweise von "Gehen Sie dabei wie folgt vor" erklären.
Aufgabe 1.1. [Konvergenzordnung] Es sei \( \left[t_{0}, T\right] \subset \mathbb{R} \) ein Intervall und \( f:\left[t_{0}, T\right] \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) stetig differenzierbar und für ein \( C_{f}>0 \) gelte \( \sup _{t, y}|f(t, y)|+|D f(t, y)| \leq C_{f} \). Weiter sei \( y \in \) \( C^{1}\left(\left[t_{0}, T\right], \mathbb{R}^{n}\right) \) die Lösung des Anfangswertproblems
\( y^{\prime}(t)=f(t, y(t)) \quad \forall t \in\left[t_{0}, T\right], \quad y\left(t_{0}\right)=y_{0} . \)
Für \( k \in \mathbb{N}_{0} \) setzen wir \( t_{k+1}:=t_{0}+(k+1) h \) und untersuchen das explizite Euler-Verfahren
\( y_{k+1}:=y_{k}+h f\left(t_{k}, y_{k}\right) . \)
Zeigen Sie, dass das Verfahren die Konsistenzordnung 1 hat, also, dass eine Konstante \( C>0 \) existiert mit
\( \max _{k \in \mathbb{N}_{0}}\left|y_{k}-y\left(t_{k}\right)\right| \leq C h \)
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) (Glattheit der Lösung) Zeigen Sie, dass eine Konstante \( C_{1}>0 \) existiert mit
\( \max _{t \in\left[t_{0}, T\right]}\left|y^{\prime \prime}(t)\right| \leq C_{1} . \)
Folgern Sie daraus, dass eine Konstante \( C_{2}>0 \) existiert mit
\( \left|y\left(t_{k+1}\right)-y\left(t_{k}\right)-h y^{\prime}\left(t_{k}\right)\right| \leq C_{2} h^{2} . \)
b) (Fehlerwachstum) Zeigen Sie, dass eine Konstante \( C_{3}>0 \) existiert mit
\( \left|y_{k+1}-y\left(t_{k+1}\right)\right| \leq\left(1+C_{3} h\right)\left|y_{k}-y\left(t_{k}\right)\right|+C_{3} h^{2} . \)
c) Folgern Sie: Es existiert eine Konstante \( C_{4}>0 \) mit
\( \left|y_{k}-y\left(t_{k}\right)\right| \leq C_{4} k h^{2} \quad \forall k \in \mathbb{N}_{0} . \)
