Z-Wert berechnen Formel Stochastik Sicherheitswarscheinlichkeit bei Normalverteilung

Question

Aufgabe:

Stochastik — Übungsaufgabe "Bodylotion"

Ein Hersteller von Kosmetikartikeln richtet eine neue Abfüllanlage ein. Die Pumpflaschen sollen je-
weils mit 300 Milliliter (ml) Bodylotion befüllt werden. Nach der Installation der Anlage erfolgt die Abfüllung näherungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert 303 ml und der Standardabweichung 4 ml.

Ermitteln Sie ein Intervall, in dem 95,4% der Füllmengen liegen.

Problem/Ansatz:

Mü=303

Sigma=4

Das ist ja klar und für das Intervall muss ich Mü +/- Sigma*Faktor(z) rechnen.

Jetzt könnte ich theoretisch den Sigma-Faktor via Tabelle suchen und die Aufgabe lösen.

Ich stelle mir jedoch die Frage, wie ich jenen Z-Wert, also den Faktor für Sigma ausrechnen kann (mit Formel).

Gibt es da einen Weg, wenn ja bitte an der genannten Aufgabe zeigen. Dankeschön:)

Answer 1

Ein Hersteller von Kosmetikartikeln richtet eine neue Abfüllanlage ein. Die Pumpflaschen sollen jeweils mit 300 Milliliter (ml) Bodylotion befüllt werden. Nach der Installation der Anlage erfolgt die Abfüllung näherungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert 303 ml und der Standardabweichung 4 ml.

Ermitteln Sie ein Intervall, in dem 95,4% der Füllmengen liegen.

Gesucht ist vermutlich einfach das 2σ-Intervall

[303 - 2*4 ; 303 - 2*4] = [295 ; 311]

Den Faktor ausrechnen geht nur über eine Tabelle oder Taschenrechner. Eine Näherungsformel benutzt der Taschenrechner intern. Die ist allerdings viel zu kompliziert.

Comments

Die Prozentwerte für die 3 wichtigen Sigma-Intervalle solltest du kennen.

P(μ - 1·σ ≤ X ≤ μ + 1·σ) ≈ 68.3 %
P(μ - 2·σ ≤ X ≤ μ + 2·σ) ≈ 94.4 %
P(μ - 3·σ ≤ X ≤ μ + 3·σ) ≈ 99.7 %

Darüber hinaus auch mindestens die 95 % Werte für das einseitige und zweiseitige Konfidenzintervall kennen.

P(X ≤ μ + 1.645·σ) ≈ 95 %
P(μ - 1.96·σ ≤ X ≤ μ + 1.96·σ) ≈ 95 %