Wie viele Schlösser braucht man dafür und wie müssen die Schlüssel verteilt werden?

Question

Aufgabe:

Die Räuberbande „Robin Hood“ besteht aus fünf Personen. Sie legt für ihr Diebesgut eine Schatztruhe an, die sie mit verschiedenen Schlössern sichern möchte, wobei die (mehrfachen) Schlüssel an die Mitglieder verteilt werden sollen. Dabei soll erreicht werden, dass je zwei Bandenmitglieder allein nicht an den Schatz kommen, dass aber je drei Bandenmitglieder die Truhe aufschließen können. Wie viele Schlösser braucht man dafür und wie müssen die Schlüssel verteilt werden?

Problem/Ansatz:

Meine Gruppe von 6 Leuten war nicht in der Lage, einen Ansatz, eine Formel oder eine vorgehensweise zu ermitteln. Wir haben viele verschiedene Kombinationen ausprobiert, konnten aber keine sinnvolle Lösung erhalten.

Answer 1

Die fünf Personen können (5 über 2) Zweier-Gruppen bilden, jeder Gruppe fehlt der Schlüssel zu einem Schloss, also benötigt man 10 Schlösser mit je 3 Schlüsseln.

Comments

Und wie würde da eine Schlüsselverteilung konkret aussehen? Ich verstehe nicht so ganz, wie jede Kombination aus 3 Personen an die Truhe kommen sollen, wenn jede Gruppe der Schlüssel zu genau einem Schloss fehlt.

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Text erkannt:

1. \( 1,2,3,4,5,6 \)
2. \( 1,2,3 \quad 7,8,9 \)
\( \begin{array}{lllllll}3 . & 1,1 & 4,5, & 7,8, & 10 \\ \text { 4. } & 2, & 4, & 6,7, & 9,10 \\ 5 . & & 3, & 5,6, & 8,9,10\end{array} \)

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Ah, so macht es tatsächlich Sinn! Vielen Dank.

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Hier ein allgemeiner Lösungsweg, der auch eine Möglichkeit zur Konstruktion der Verteilung beinhaltet :

Die Gruppe habe n Mitglieder, jede Auswahl von k Leuten kann die Kiste nicht öffnen, aber jede Auswahl von k+1 Leuten kann es.

Es gibt (n über k) mögliche k-Gruppen, denen jeweils der Schlüssel zu einem Schloss fehlt, also braucht man (n über k) Schlösser.
Robin ist Mitglied in (n-1 über k-1) solcher k-Gruppen und hat deshalb (n-1 über k-1) Schlüssel nicht. Also hat Robin (n über k) - (n-1 über k-1) = (n-1 über k) Schlüssel. Für n Leute gibt es also insgesamt n*(n-1 über k) Schlüssel und pro Schloss daher n*(n-1 über k) / (n über k) = n-k Schlüssel.

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Ich habe mir schon gedacht, dass es einen allgemeinen Lösungsweg in dieser Art geben muss. Danke nochmals.