Untersuchung auf Stetigkeit mit Epislon-Delta

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, für welche x die Funktion stetig ist.

$$ f(x) =  \frac{x-1}{|x^{2}-1|} \text{für } x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1 \} $$
$$ f(x) =   0 \text{ für } x \in \{-1,1 \} $$

Problem/Ansatz:

Die Funktion ist in -1 und 1 unstetig, das konnte beweisen. Nun versuche ich die Stetigkeit der Funktion auf den Intervallen

$$ (- \infty , -1) \text{ und } (1, \infty) \text{ zu beweisen} $$.

Dazu habe ich das Epsilon-Delta Kriterium benutzt.

Für $$ x > 1 $$ gilt:

$$ |f(x) - f(x_0)| = |\frac{ x-1 }{|x^2 - 1|} - \frac{ x_0-1 }{|x_0^2 - 1|}| = \frac{|x-1-x_0 - 1|}{(|x^2-1|)(|x^2_0 -1|)} < |x-1 -x_0-1| < \delta = |x-x_0| < \delta + 2 $$

Daraus würde folgen: $$ \delta = \epsilon -2 $$

Ist das so richtig? Vorallem die letzte Anschätzung gefällt mir nicht so wirklich. Wäre über Ratschläge sehr glücklich.
Vielen Dank schonmal

Comments

Ich glaube ich habe meinen Fehler erkannt. Ich denke so macht es mehr Sinn oder? $$  |x - 1 - x_0 - 1| < | x - x_0 | < \delta = \epsilon  $$

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Es gibt doch für x>1

\( |f(x) - f(x_0)| = | \frac{ x_0-x }{(x_0+ 1)(x+1)}| < |x-x_0| < \delta \)

Also passt δ=ε.

Das fand ich überzeugend. Die Zwischenrechnungen hatte ich gar nicht beachtet, da ist ja in der Tat noch viel Luft nach oben.

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https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x-1%29%2F%7Cx%5E2-1%7C

Answer 1

Das Ergebnis sieht sehr überzeugend aus,

aber der Weg dahin ist wohl eher so: (s. Kommentare)

Etwa für x_o>1 :

\( |f(x) - f(x_0)| = |\frac{ x-1 }{|x^2 - 1|} - \frac{ x_0-1 }{|x_0^2 - 1|}| = |\frac{ x-1 }{|(x+1)(x - 1)|} - \frac{ x_0-1 }{|(x_0+1)(x_0 - 1)|}| \)

 \( =| \frac{1}{|x+1|} - \frac{1}{|x_0+1| } |\)  #

Für xo>1 ist ja bei hinreichend kleinem δ

nämlich δ<1  jedenfalls  x>0 und also

|x+1| = x+1 und |xo+1|=xo+1  .

Dann setzt sich # fort mit

 \( =| \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x_0+1} |\)

und dann Hauptnenner

\( =| \frac{x_0+1}{(x+1)(x_0+1)} - \frac{x+1}{(x+1)(x_0+1)} |\)

\( =| \frac{x_0+1 -(x+1)}{(x+1)(x_0+1)}  |\)

\( =| \frac{x_0 -x}{(x+1)(x_0+1)}  |\)

Da beide Faktoren im Nenner größer als 1 sind, ist

der Bruch also kleiner als der Zähler und du hast

\( < | x_0 -x   |\).

Mit δ=min {1 ;  ε }   [zur 1 s.o.]   hast du also jedenfalls:

\(  | x_0 -x   | < \delta \)  ==>  \( |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \).

Damit wäre der Fall xo>1 geklärt.

Versuche mal die anderen Fälle, vergiss auch nicht xo zwischen

-1 und +1.

Comments

?? Schon die erste Umformung von Simsat ist doch gravierend falsch. Bruchrechnung.

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Es gibt doch für x>1

\( |f(x) - f(x_0)| = | \frac{ x_0-x }{(x_0+ 1)(x+1)}| < |x-x_0| < \delta \)

Also passt δ=ε.

Das fand ich überzeugend. Die Zwischenrechnungen hatte ich gar nicht beachtet, da ist ja in der Tat noch viel Luft nach oben.

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Ist das der neue Mathematik Sprech: " Luft nach oben " für fehlerhafte Bruchrechnung?

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stimmt. ich glaube ich saß zu lange dran... Das war natürlich völlig murks was ich geschrieben habe. Vielen Dank für die Antworten von euch beiden.

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Es muss sein

$$\delta=\min\{x_0-1,\epsilon\}$$

damit

$$|x-x_0|<\delta \Rightarrow x>1$$

Sonst scheitert das Kürzen von \(|x-1|\)