Aloha :)
Damit \(\mathbf A\) und \(\mathbf B\) invers zueinander sind, muss gelten:$$\mathbf A\cdot\mathbf B=\mathbf1$$Wir setzen ein:$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1\\0 & 3 & -2\end{pmatrix}\cdot \pink k\begin{pmatrix}7 & \pink a & 4\\\pink b & 2 & 3\\3 & 3 & \pink c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Zur Berechnung teilen wir uns diese Matrix-Gleichung in 3 Matrix-Gleichungen auf:
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1\\0 & 3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\\pink b\\3\end{pmatrix}=\frac{1}{\pink k}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}7\cdot & \pink b\cdot & 3\cdot\\\hline1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1\\0 & 3 & -2\end{pmatrix}=\frac{1}{\pink k}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$
Damit in der zweiten Zeile eine Null herauskommt, muss gelten:$$7\cdot(-1)+\pink b\cdot2+3\cdot1=0\implies2\pink b-4=0\implies \pink{b=2}$$Für die erste Zeile erhalten wir$$7\cdot1+\pink b\cdot0+3\cdot2=\frac{1}{\pink k}\implies13=\frac{1}{\pink k}\implies\pink{k=\frac{1}{13}}$$
Die zweite Teil-Gleichung liefert:$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1\\0 & 3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\pink a\\2\\3\end{pmatrix}=\frac{1}{\pink k}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\pink a\cdot & 2\cdot & 3\cdot\\\hline1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1\\0 & 3 & -2\end{pmatrix}=\frac{1}{\pink k}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$Damit in der ersten Zeil eine Null herauskommt, muss gelten:$$\pink a\cdot1+2\cdot0+3\cdot2=0\implies a+6=0\implies\pink{a=-6}$$
Die dritte Teil-Gleichung liefert:$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1\\0 & 3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\3\\\pink c\end{pmatrix}=\frac{1}{\pink k}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}4\cdot & 3\cdot & \pink c\cdot\\\hline1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1\\0 & 3 & -2\end{pmatrix}=\frac{1}{\pink k}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$Damit in der ersten Zeile eine Null herauskommt, muss gelten:$$4\cdot1+3\cdot0+\pink c\cdot2=0\implies2c+4=0\implies\pink{c=-2}$$
