Gerade im Raum Koordinatenform

Question

Hallo,
ich habe eine Frage zur Darstellung einer Geraden im Raum.

Ich weiß, dass wir Geraden im Raum nur in Parameterdarstellung schreiben können. Warum eigentlich? Es gibt zwar keinen eindeutigen Normalenvektor ( in der Ebene sind die Normalenvektoren ja parallel und haben dieselbe Richtung, deshalb geht das), aber auch die Gerade in Parameterdarstellung ist nicht eindeutig bestimmt.

Kann mir das bitte jemand erklären :(… ich verzweifle…

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zur Nicht-Eindeutigkeit der Parameterdarstellung

Hans startet am Punkt \((1|2|3)\) und geht mit großen Schritten \((5|5|5)\). Er läuft also auf der Geraden:$$h\colon\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}5\\5\\5\end{pmatrix}$$

Als Hans nach \(s=3\) Schritten am Punkt \((16|17|18)\) vorbei kommt, trifft er dort Emma. Sie hat zufällig dasselbe Ziel und geht mit Hans zusammen. Ihr Weg startet am Punkt \((16|17|18)\) und da sie kleiner ist als Hans, macht sie etwas kürzere Schritte \((4|4|4)\). Sie läuft auf der Geraden:$$e\colon\vec x=\begin{pmatrix}16\\17\\18\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$$

Beide Parametergleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Die Darstellung der Gerade ist aber nicht eindeutig, weil der Anker-Punkt irgendwo auf der Geraden liegen kann und die Schrittweite (Länge des Richtungsvektors) unterschiedlich sein kann.

Zur Koordinaten-Darstellung von Gerade in 3 Dimensionen

In 3 Dimensionen hast du 3 Freiheitsgrade \((x,y,z)\), das sind Variablen, die du völlig frei wählen kannst.

Wenn du nun eine Koordinatengleichung hast, z.B.$$2x+3y+z=5$$verlierst du einen Freiheitsgrad. Du kannst nun nämlich nur noch 2 Variablen völlig frei wählen, die dritte Variable ist dann durch die Gleichung fest vorgegeben. Du wählst z.B. \(x\) und \(y\) aus, dann ist$$z=5-2x-3y$$Das beschriebene Objekt ist dann nur noch 2-dimensional, entspricht also einer Ebene.

Wenn nun noch eine Gleichung dazu käme$$\small 2x+3y+z=5\quad;\quad x+y+z=1$$kannst du nur noch 1 Variable völlig frei wählen, die beiden anderen sind dann durch die beiden Gleichungen vorgegeben. Angenommen, du wählst \(x\) frei aus, dann muss für die anderen Variablen gelten:$$\small z=5-2x-3y\;\land\;z=1-x-y\implies5-2x-3y=1-x-y\implies y=2-\frac x2$$$$z=1-x-y=1-x-\left(2-\frac x2\right)\implies z=-1-\frac x2$$

Diese beiden Koordinaten-Gleichungen zusammen beschreiben folglich ein 1-dimensionales Objekt im 3-dimensionalen Raum, also eine Gerade.

Mit jeder Koordinaten-Gleichung verlierst du einen Freiheitsgard bzw. eine Dimension. In 3 Dimensionen kannst du mit einer Koordinaten-Gleichung eine Ebene beschreiben und mit zwei Koordinaten-Gleichungen eine Gerade.

Comments

Das hast du mega erklärt!

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Wooooow, super ausführliche und verständliche Antwort!!!!

Vielen lieben Dank!

Darf ich dich noch etwas fragen?

Gegeben ist folgende Koordinatengleichung:

z=2x+0,5y-1

Hier ist die Variable z durch die Gleichung fest vorgegeben. Das beschreibt ja eine Ebene, richtig?

Jetzt steht in der Lösung folgendes:

„Eine Geradengleichung ordnet jedem x-Wert einen festen y-Wert und einen festen z-Wert zu. In der angegeben Gleichung ist y und z  dagegen voneinander unabhängig. Einem beliebigen z-Wert wird kein eindeutiger x- bzw. y-Wert zugeordnet.“

Ich verstehe das leider gar nicht :( könntest du mir das bitte erklären?

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Das, E: z=2x+0.5y-1, beschreibt eine Ebene hast Du festgestellt, was soll dann der Bezug zu einer Geraden. Für einen Punkt im Raum (x,y,z) ∈ Ebene haben die Koordinaten die Eigenschaft beschrieben in Gleichung E. Eine Gleichnung für 3 Variablen (2 Freiheitsgrade), Du kannst 2 der 3 Koordinaten festlegen

(x,y,z = 2x + 0,5y - 1) oder

(x,y = -4 x + 2z + 2,z)  oder

(x = -1 / 4 y + 1 / 2 z + 1 / 2,y,z)

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„Eine Geradengleichung ordnet jedem x-Wert einen festen y-Wert und einen festen z-Wert zu.

Das stimmt so nicht.

Zum Beispiel gibt es eine Gerade, die durch die Punkte A(5|3|2) und B(5|7|11) verläuft.

Auf dieser Geraden wird dem x-Wert 5 nicht der feste y-Wert 3 zugeordnet, weil ein Punkt mit x-Wert 5 und y-Wert 7 ebenfalls auf der Geraden liegt.

Obige Ausage gilt aber dann, wenn die Gerade nicht parallel zur x₂x₃-Ebene verläuft. Nehmen wir zum Beispiel die Gerade, die durch die Punkte A(5|3|2) und C(6|7|11) verläuft. Dann kannst du den Punkt der Geraden berechnen, der die x-Koordinate 10 hat, indem du die Gleichung

        \(\begin{pmatrix}10\\y\\z\end{pmatrix}=\vec{OA}+r\cdot \vec{AC}\)

löst.

Diese Gleichung hat genau eine Lösung. Oder anders formuliert, y und z sind durch x=10 eindeutig festgelegt.

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Okay und warum gilt bei meinem Beispiel: „Einem beliebigen z-Wert wird kein eindeutiger x- bzw. y-Wert zugeordnet?“

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Zum Beispiel z = 2.

Dann erfüllt x=1, y=2 die Gleichung.

Aber auch x=0, y=6 erfüllt die Gleichung.

Und auch x=732, y=-2922.

Es gibt also zu dem Wert z=2 mehrere Möglichkeiten, x und y so festzulegen, dass die Glecihung erfüllt ist.

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Vielen Dank!

Answer 2

Ich weiß, dass wir Geraden im Raum nur in Parameterdarstellung schreiben können. Warum eigentlich?

Wenn du eine lineare Gleichung mit drei Variablen betrachtest,

also sowas wie 2x+3y-4z=5 , dann entspricht die Lösungsmenge

einer Ebene im Raum mit dem Normalenvektor \(\begin{pmatrix} 2\\3\\-4 \end{pmatrix}\)

Answer 3

Gegeben ist die Gleichung

        \(n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 = c\)

mit o.B.d.A. \(n_3\neq 0\). Diese Gleichung kann umgeformt werden zu

        \(x_3 = c-\frac{1}{n_3}(n_1x_1+n_2x_2)\).

Jetzt kannst du Werte für \(x_1\) und \(x_2\) beliebig festlegen und einen Wert für \(x_3\) ausrechnen.

Dadurch, dass du Werte für \(x_1\) und \(x_2\) festlegst, bewegst du dich entlang zweier unterschiedlicher Achsen. Außerdem kannst du für eine beliebige Bewegung entlang dieser Achsen einen Wert für \(x_3\) berechnen.

Auf einer Geraden kann man sich nur in eine Richtung bewegen. Deshalb wird mit obiger Gleichung keine Gerade beschrieben.

Auf einer Ebene kann man sich in zwei Richtungen bewegen (besser gesagt, jede Bewegung kann als Zusammensetzung von Bewegungen entlang zweier Achsen beschreiben werden). Deshalb wird mit obiger Gleichung eine Ebene beschrieben.

dass wir Geraden im Raum nur in Parameterdarstellung schreiben können. Warum eigentlich?

Weil das die einzige Darstellung ist, die euch beigebracht wurde.

Es gibt andere Darstellungen, zum Beispiel als Schnittgerade zweier Ebenen. Sind die Ebenen in Koordinatenform gegeben, dann ist die Schnittgerade die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems aus zwei Gleichungen und drei Variablen. Das ist unhandlich.

aber auch die Gerade in Parameterdarstellung ist nicht eindeutig bestimmt.

Doch, die Gerade ist durch ihre Parameterdarstellung eindeutig bestimmt.

Stattdessen ist die Parameterdarstellung nicht eindeutig durch die Gerade bestimmt.

Comments

Vielen Dank :)

Answer 4

Es wäre durchaus möglich, eine Gerade im  ℝ³  durch eine Koordinatengleichung darzustellen anstatt durch eine Parametergleichung.

Nur mal ein ganz einfaches Beispiel:

Die x-Achse des Koordinatensystems, deren Parameterdarstellung zum Beispiel so geschrieben werden kann:

     \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + t · \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

lässt sich auch durch das Gleichungssystem

    y = 0    ∧  z = 0

darstellen. Diese beiden (linearen) Gleichungen kann man aber auch zu einer einzigen Koordinatengleichung vereinen, nämlich:

    y² + z² = 0

Letzteres ist also eine Koordinatengleichung, deren Lösungsmenge im 3D-Koordinatensystem exakt  die x-Achse ist.

Analog wäre etwa auch die Gleichung

  (x-y+2z-3)² + (2x-z+1)² = 0

ausmultipliziert:

  5x² - 2 x y - 2 x + y² - 4 y z + 6 y + 5 z² - 14 z + 10 = 0

eine Koordinatengleichung für eine ganz bestimmte Gerade im Raum.