Aufgabe:
Der Punkt P(r/f(r)) mit 0< r <0,25 ist ein Punkt des Graphen von f.
Gemeinsam mit den Punkten A(r/0), B(0/f(r)) und dem Koordinatenursprung bildet der Punkt P ein Rechteck.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass das Rechteck einen maximalen Flächeninhalt hat, und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. Funktion f(x)= (1-4x)*e^-4x
Problem/Ansatz:
Nun, natürlich habe ich mir Gedanken gemacht, um die Aufgabe zu lösen, deshalb habe ich auch einen Lösungsansatz:
Nullsetzen der Ableitung, damit man Extremstellen erhält
Koordinatenursprung (0/0)
Flächeninhalt: A=r*f(r)
Deshalb habe ich erstmal folgendes gemacht:
f(r)=(1-4r)*e^-4r und A=r*(1-4r)*e^-4r
Um A zu vereinfachen habe ich das Distributivgesetz verwendet und habe deshalb : (1r-4r^2)*e^-4r raus.
Da kam mir schon die erste Frage auf: Darf man wenn rechts und links neben der Klammer ein Mal-zeichen ist, beides einzeln multiplizieren?
Davon habe ich die erste Ableitung gebildet: (16r^2-12r+1)*e^-4r
Diese habe ich gleich Null gesetzt, da dann für e^-4r die Regel: Satz vom Nullprodukt gilt, habe dieses entfernen können, danach hatte ich noch folgendes übrig: 16r^2-12r+1=0 /:16, da man für die p-q-Formel r^2 alleine benötigt, dann hatte ich r^2-0,75r+1/16 = 0 raus.
Für r1 hatte ich -0,095492 und für r2 = -0,654508 raus. Diese Ergebnisse entsprechen allerdings nicht der Eingrenzung 0< r < 0,25.
Deshalb wollte ich fragen wo ich ein Fehler gemacht habe und wie die korrigierte Version aussehen würde, um die Aufgabe lösen zu können. Ich danke im voraus für jede Hilfe.
