Welche Formen von Integration gibt es?

Question

Ich meine damit, dass also es gibt doch zum Beispiel: Integration durch lineare Substitution, Partielle Integration, Partialbruchzerlegung(?)...

was gibt es aber noch?!

Es interessiert mich einfach mal

Comments

Integration durch nichtlineare Substitution. :-)

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trigonometrische Integrationen mfg Georg

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Oh sehr interessant :)

Danke an euch beide :)

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Wie funktioniert denn Integration durch nichtlineare Substitution? Klappt nur in Spezialfällen, oder?

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@mister

  Substituiert werden kann so gut wie alles

  z = Wurzel ( 34*x^3)
  z = tan ( 1.5+x)
  z = ln ( x)
  z = m * x+ b

  Der letzte Ausdruck wäre eine  lineare Substitution

  mfg Georg

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So einfach ist das bei Integration leider nicht. Nur bei linearer Substitution bleibt als innere Ableitung eine Konstante zurück.

Oder anders ausgedrückt: Nur lineare Koordinatentransformationen haben besonders leichte Ableitungen.

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@mister

" Wie funktioniert denn Integration durch nichtlineare Substitution?
  Klappt nur in Spezialfällen, oder?  "

  Antwort : Klappt nicht nur in Spezialfällen.

  Ob bei einer Integration die Substitution erfolgreich sein könnte
muß mitunter auch " ausprobiert " werden. Übung macht den
Meister.

  Wer Lust hat kann sich einmal an ∫ x / ( 1 + 4 * x^2 ) dx versuchen.

  Ich überprüfe die Lösung.

  mfg Georg

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Nachtrag,

  wer will kann sich auf

  https://www.mathelounge.de/103862/integration-durch-substitution?show=103874#c103874

  ein kleines Beispiel mit Erklärung und Skizze ansehen.

  mfg GEorg

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Wenn "mitunter ausprobiert" werden muss, dann ist das doch ein Spezialfall, oder nicht? Du kannst ja mal versuchen, eine allgemeine Form anzugeben. Ich kontrolliere die Lösung dann.

(Das ist kein Witz, es gibt natürlich für die Spezialfälle eine spezielle allgemeine Darstellung oder zumindest für eine Teilklasse der Spezialfälle.)

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@Mister

deine Aussage   " Wie funktioniert denn Integration durch
nichtlineare Substitution? Klappt nur in Spezialfällen, oder?  "
zeigt das bei dir wohl reichlich Defizite bezüglich des Themas
vorhanden sind.

  Nichts für ungut. Falls du Fragen hast kannst du dich gern an
mich wenden.

mfg Georg

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Dein Abiturwissen beeindruckt mich nicht die Bohne.

Im Übrigen funktioniert es wirklich nur in Spezialfällen.

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@Mister

Ich habe keinerlei Interesse dich zu beeindrucken. mfg Georg

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@Mister

Nachtrag : solltest du den Wunsch haben dich in Mathematik zu steigern
empfehle ich dir die Seite www.abiturloesung.de. Dort findest du Aufgaben,
deren schriftliche Lösungen und Videos mit Unterrichtsstunden in denen
die Aufgaben erklärt werden ( Schulstunden ). Besser gehts nicht.

mfg Georg

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@georgborn: Solltest du den Wunsch haben, Mathematik über dein Abiturwissen hinaus zu verstehen, empfehle ich dir die Seite:

https://www.mathematik.hu-berlin.de/studium/studienangebot .

Als Zusatzaufgabe hilft dir vielleicht folgendes:

http://www.lifeline.de/leben-und-familie/life-balance/persoenlichkeit-psyche/Menschenkenntnis-id31963.html

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@Mister

Irgendwie scheinen wir aneinander vorbei zu reden. Ich sehe in dem
Schwachsinnsdisput keinen Sinn mehr.

Answer 1

Die gängigsten Verfahren zur Bestimmung einer Stammfunktion würden ja schon angerissen

Integration durch Substitution (wobei die lineare ein Spezialfall ist)

Partielle Integration (Produktintegration)

Partialbruchzerlegung ist eigentlich kein Verfahren zur Integration sondern nur ein Verfahren um aus einem komplizierten Bruch eine Summe mehrerer einfacher Brüche zu machen. Diese können dann eventuell recht einfach integriert werden.

Manchmal ist es auch hilfreich wenn man weiß wie eine Stammfunktion aussehen könnte. Dann kann man eine Stammfunktion mit allgemeinen Parametern vermuten und die Ableiten. Über Koeffizientenvergleich, kommt man dann auf eine Stammfunktion.