Bestimme die kritischen Punkte mit der Substitutionsmethode!

Question

Text erkannt:

I5. Gegeben ist folgendes Optimierungsproblem
\( f(x, y)=3 x-4 y+6 \rightarrow \text { extremal } \quad \text { unter der NB: } \quad x^{2}+y^{2}=25 \)
(a) i. Bestimme die kritischen Punkte mit der Substitutionsmethode!
ii. Klassifiziere die gefundenen Punkte! (Finde heraus, ob es sich jeweils um einen Maximizer, Minimizer oder Sattelpunkt handelt!)
(b) i. Bestimme die kritischen Punkte mit der Methode von Lagrange!
ii. Klassifiziere die gefundenen Punkte!
iii. Bestimme für jeden kritischen Punkt den Funktionswert!
iv. Gib für jeden kritischen Punkt an, wie sich der Funktionswert im kritischen Punkt ungefähr ändert, wenn die rechte Seite der Nebenbedingung von 25 auf 28 erhöht wird!
Finde die Lösung ohne das Problem neu zu lösen!

Aufgabe: könnt ihr mir mit dem Rechenweg dieser Aufgabe helfen?

Answer 1

Substittution:

Löse die Nebenbedingung z.B. nach y auf  \(   y= \pm\sqrt{25-x^2} \)

und setze bei der Zielfunktion \( f(x, y)=3 x-4 y+6 \) ein:

1. mit +   \(  f(x)=3x + 6 -4\sqrt{25-x^2} \)

Ableiten: \(  f(x)=3 -4\cdot \frac{1}{2\sqrt{25-x^2}}\cdot (-2x) \)

gleich 0 setzen \(  8x\cdot \frac{1}{2\sqrt{25-x^2}} =-3 \)

                         \(  8x =-6\sqrt{25-x^2}\)

                                    64x^2 = 36*(25-x^2) = 900 - 36x^2

                                   100x^2 = 900

                                           x=3 oder x=-3

Jetzt mit 2. Ableitung die Extrema klassifizieren und das

Gleiche mit \(  y= - \sqrt{25-x^2} \) versuchen.

Comments

Danke, wahrscheinlich dumme Frage, aber

Was genau meinst mit

Jetzt mit 2. Ableitung die Extrema klassifizieren ?

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Und beim Ableiten, ist es nicht (4x)/(sqrt(25-x^2)) +3?

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Wenn ich das richtig verstehe, dann gibts 4 kritische Punkte

P1(3,4), P2(3,-4),P3(-3,4),P4(-3,-4) und wie funktioniert mit Klassifizierung?

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(4x)/(sqrt(25-x2)) +3 =  (8x)/(2sqrt(25-x2)) +3?

und dann mit der 2. Ableitung schauen, ob die an

den Stellen größer oder kleiner 0 ist.