Sets x und y ausrechnen?

Question

Aufgabe: Sets

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Consider the function
\( \begin{array}{c} f: \mathbb{Z} \cap[0,9] \rightarrow \mathbb{Z} \\ x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} 4 x-4 & x \leq 5 \\ 22-2 x & x>5 . \end{array}\right. \end{array} \)

Determine \( f(\{1,3,5,8\})= \)

Determine \( f^{-1}(\{4,8,10,19\})= \)

Ist für das erste = {0,8,16,6}

     und das zweite = {2, 7, 6, 3/2} ?

Answer 1

Deine erste Menge ist korrekt.

Für die zweite Menge ist es sinnvoll, sich die wenigen Funktionswerte einmal anzuschauen:

\(x\)	0	1	\(\color{orange}{2}\)	\(\color{orange}{3}\)	4	5
\(4x-4\)	-4	0	\(\color{blue}{4}\)	\(\color{blue}{8}\)	12	16

\(x\)	\(\color{orange}{6}\)	\(\color{orange}{7}\)	8	\(\color{orange}{9}\)
\(22-2x\)	\(\color{blue}{10}\)	\(\color{blue}{8}\)	6	\(\color{blue}{4}\)

\(f^{-1}\left(\{{\color{blue}{4,8,10}},19\}\right) = \{{\color{orange}{2,3,6,7,9}}\} \)

Die Zahl 19 kann übrigens auch ohne Rechnen kein Urbild haben, da laut Zuordnungsvorschrift alle Funktionswerte mindestens durch 2 teilbar sind.

Answer 2

Die zweite Menge ist nicht richtig, denn du musst eine Zahl als Definitionswert bestimmen, mit dem der Funktionswert gleich 19 ist. Hier ist der Schnitt der  Menge der ganzen Zahlen und die Zahlen zwischen einschließlich 0 und 9 die Definitionswerte, also kannst du bei der Funktion nur ganze Zahlen zwischen 0 und 9 als Definitionswert nehmen. 3/2 ist nicht vorhanden und das dürftest du eigentlich nicht in den zweiten Funktionsteil einsetzen, weil 3/2 kleiner gleich 5 ist. Wenn du alle ganzen Werte von 0 bis 9 in die Funktion einsetzt, kommt niemals 19 raus. Von daher wäre f^-1(19) in dem Fall die leere Menge.

Keine Garantie