Gesucht ist die erste Ableitung f'(x) an der Stelle x=0.63.

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=4*x^5 · e^{4*x^4 +6*x} . Gesucht ist die erste Ableitung f'(x) an der Stelle x=0.63.

Answer 1

Wo bestehen denn die Schwierigkeiten?

f(x) = 4·x^5·e^{4·x^4 + 6·x}

Ableitung über Produkt und Kettenregel. Danach Zusammenfassen ergibt:

f'(x) = 4·x^4·e^{4·x^4 + 6·x}·(16·x^4 + 6·x + 5)

Nun einfach x = 0.63 einsetzen

f'(0.63) = 4·(0.63)^4·e^{4·(0.63)^4 + 6·(0.63)}·(16·(0.63)^4 + 6·(0.63) + 5) = 585.9

Dann hoffen, dass man sich nicht verrechnet hat.

Answer 2

Wohlan, gegeben ist:$$f(x)={ 4x }^{ 5 }{ e }^{ 4{ x }^{ 4 }+6x }$$Diese Funktion ist eine zusammengesetzte Funktion und kann geschrieben werden als:$$f(x)=g(x)e^{ h(x) }$$mit:$$g(x)=4{ x }^{ 5 }$$$$h(x)={ 4{ x }^{ 4 }+6x }$$Die formale Ableitung ist dann nach Produktregel und Kettenregel:$$f'(x)=g'(x)e^{ h(x) }+g(x)h'(x)e^{ h(x) }$$mit$$g'(x)=20{ x }^{ 4 }$$$$h'(x)=16{ x }^{ 3 }+6$$Setzt man ein, erhält man:$$f'(x)=20{ x }^{ 4 }e^{ 4{ x }^{ 4 }+6x }+{ 4x }^{ 5 }(16{ x }^{ 3 }+6){ e }^{ 4{ x }^{ 4 }+6x }$$$$=e^{ 4{ x }^{ 4 }+6x }(20{ x }^{ 4 }+64{ x }^{ 8 }+24{ x }^{ 5 })$$Mit dem Taschenrechenr kann man nun f ' ( 0.63) ausrechnen:$$f'(0,63)\approx 585,880$$