Abbildungen, Injektiv Surjektiv

Question

Aufgabe:

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Aufgabe H 11. Abbildungen
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
(a) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}: x \mapsto(-3 \cos (5 x), 2 \sin (x)) \)
(b) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto-7 x^{5}+3 \)
(c) \( h:[1,2] \rightarrow[0,51]: x \mapsto\left(x^{3}-1\right)^{2}+1 \)
(d) \( u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}:(x, y) \mapsto(3 x-y, 2 x+2 y) \)

Hallo Zusammen, bei dieser Aufgabe habe ich a-c hinbekommen, doch hänge bei der d und bräuchte Hilfe.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Wenn \(f(a,b)=f(c,d)\), d. h. \((3a-b,2a+2b)=(3c-d,2c+2d)\) bzw. \(3a-b=3c-d\) und \(2a+2b=2c+2d\), dann sind die Lösungen dieses Gleichungssystems \(a=c\) und \(b=d\), d. h. die Funktion ist injektiv.

Für die Surjektivität musst du zeigen, dass jedes \((a,b)\in \mathbb{R}^2\) "erreicht" werden kann, also dass es \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) gibt, sodass \(f(x,y)=(a,b)\).

Dafür löst du einfach \(f(x,y)=(a,b)\) nach \((x,y)\) auf.

Man erhält dann \(x=a/4+b/8\) und \(y=(3b)/8-a/4\).

Answer 2

Aloha :)

Die Abbildung in (d) ist linear:$$\binom{u_1}{u_2}=\binom{3x-y}{2x+2y}=x\binom{3}{2}+y\binom{-1}{2}=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}3 & -1\\2 & 2\end{array}\right)}_{\eqqcolon A}\binom{x}{y}$$Da die Determinante der Abbildungsmatrix \(A\) nicht Null ist, existiert die \(A^{-1}\) und wir können die Funktion eindeutig umkehren:$$\binom{x}{y}=\frac18\left(\begin{array}{rr}2 & 1\\-2 & 3\end{array}\right)\binom{u_1}{u_2}$$Die Abbildung \(u\) ist daher bijektiv, injektiv und surjektiv: