Beweisen Sie die inverse Dreiecksungleichung: Für alle a, b ∈ K gilt |a| − |b| ≤ |a − b|.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe $5(3+3+4$ Punkte). Sei $K$ ein angeordneter Körper.
(a) Beweisen Sie die inverse Dreiecksungleichung: Für alle $a, b \in K$ gilt
$|| a|-| b|| \leq|a-b|$
(b) Sei $K_{\geq 0}:=\{k \in K \mid k \geq 0\}$. Zeigen Sie, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ die Abbildung
$f: K_{\geq 0} \rightarrow K, \quad x \mapsto x^{n},$
injektiv ist.
(c) Zeigen Sie: Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}<3 .$

Hinweis: Verwenden Sie für die strikte Ungleichung die geometrische Summenformel.

Comments

3 Aufgaben, was kannst du, was hast du versucht? wo bleibst du stecken

lul

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Das sind 3 Aufgaben, die alle wenig bis nichts miteinander zu tun haben. Du hast bessere Chancen auf Antworten, wenn du jede Aufgabe für sich alleine postest und konkret schreibst, wo du Probleme hast.

Answer 1

a) Wenn ihr die "normale" dreiecksungleichung schon bewiesen habt,

kannst du so anfangen:

$|a| = | a-b+b| \leq |a-b| + |b|$

<=> $| a|-| b| \leq|a-b|$

analog bekommst du (mit |b| = |b-a+a|

auch $| b|-| a| \leq|a-b|$.