Wie löse ich diese Exponentialgleichungen? Bsp. 1. -4e^2x+2e^{-2x}=0

Question

Würde gerne wissen wie sich diese verschiedenartigen Aufgaben lösen lassen:

1. -4e^2x+2e^{-2x} = 0

2. (e^x-2)^2=4
3. -3e^2x-4=-6
4. (e^x-3) (e^x-4)=0
5. e^x-6/e^x-1=0


Anmerkung Lu: Das ist ein Duplikat. Lösung mit Erklärung zu 1. hier. Resultate zu 2.-5. und eine Antwort zu 5. bei https://www.mathelounge.de/10489/verschiedenartige-exponentialgleichungen-losen-bsp-3e-2x#a10493

Answer 1

Das funktioniert immst so, dass du eine Substitution mit y = e^x vornimmst und die entstehenden Gleichungen dann nach y auflöst. Danach ermittelst du dann x aus den erhaltenen Ausdrücken für y.

(Manchmal musst du noch das Potenzgesetz a^x*y = (a^x)^y ausnutzen, also z.B. e^2x = (e^x)² und wird in der Substitution zu y².)

Als Beispiel mal die erste Aufgabe:

-4e^2x+2e^-2x=0

-4y² + 2/y² = 0  |*y²

-4y⁴ + 2 = 0

y⁴ = 1/2

y = ±1/⁴√2

e^x = ±1/⁴√2

e^x ist niemals kleiner als 0, also:

e^x = 1/⁴√2

x = log(1/⁴√2) = -log(⁴√2)