Zeigen Sie, dass die folgenden Rechengesetze für alle komplexen Zahlen gelten

Question

Aufgabe:

Rechengesetze für komplexe Zahlen

Zeigen Sie, dass die folgenden Rechengesetze für alle \( z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} \) gelten.

a) \( \overline{ z_{1} \cdot z_{2} } = \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} \)

b) \( \left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot \left|z_{2}\right| \)

Answer 1

\( z_1=a+bi \quad z_2=c+di  \quad a,b,c,d \in \mathbb{R} \quad i=\sqrt{-1}\)

\(\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{(a+bi)(c+di)}=\overline{ac+adi+bci-bd}=ac-bd-(ad+bc)i\)

$$\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}=\overline{(a+bi)}\cdot \overline{(c+di)}=(a-bi)(c-di)=ac-bd-(ad+bc)i$$