Ableitung der Funktion f(x) = 24*((x-200)/(x+100)) mit Quotientenregel

Question

Ich suche die 1. Ableitung der Funktion: f(x) = 24*((x-200)/(x+100))

Habe sie vereinfacht zu: (24*(x-200)) / (x+ 100)

Nun die Quotientenregel anwenden.

Ich bekomme aber ein falsches Ergebnis heraus.

Answer 1

Vereinfache noch weiter (Zähler ausmultiplizieren):

 f ( x ) = ( 24 x - 4800 ) / ( x + 100 )

Dann Quotientenregel:

f ( x ) = u ( x ) / v ( x )

=> f ' ( x ) = ( u ' ( x ) * v  ( x ) - u ( x ) * v ' ( x ) ) /  v ( x ) ²

Vorliegend:

u ( x ) =  24 x - 4800

u ' ( x ) = 24

v ( x ) = x + 100

v ' ( x ) = 1

also:

f ' ( x ) = ( 24 * ( x + 100 ) - ( 24 x - 4800 ) * 1 ) / ( x + 100 ) ²

= ( 24 x + 2400 - 24 x + 4800 )  / ( x + 100 ) ²

= 7200 / ( x + 100 ) ²

Answer 2

ich bin zwar noch nicht in der Oberstufe, aber einiges kann ich schon:  

(24*(x-200)) / (x+ 100)

 

u= 24x-200

u'= 24

v=x+100

v'= 1

f'(x)= u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)/(v(x))²

= 24*(x+100)-24(x-200)/(x+100)^2

=24x+2400-24x+4800/(x+100)²

= 7200/(x+100)²

 

Ich kann dir aber nicht versprechen, dass meine Lösung nicht stimmt. Wie gesagt, ich bin noch nicht auf der Oberstufe.

Answer 3

Ja und was hast du heraus? Es sind drei gleiche Antworten:

\( f(x)=24 · \frac{x-200}{x+100}=\frac{24 · (x-200)}{(x+100)}=\frac{24 x-4800}{(x+100)}=\frac{24 x-4800}{x+100} \)
Quotientenregel sagt, dass \( \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}=\frac{f^{\prime} g-f g^{\prime}}{g^{2}} \)
Man notiere (oder merke sich), die Zwischenwerte:
\( f=24 x-4800 \)
\( f^{\prime}=24 \)
\( g=x+100 \)
\( g^{\prime}=1 \)
Daraus ergibt sich mit Einsetzen in obige Ableitungsregel:
\( [ \frac{f(x)}{g(x)} ]^{\prime}=\frac{24 · (x+100)-(24 x-4800) · 1}{(x+100)^{2}}=\frac{24 x+2400-24 x+4800}{(x+100)^{2}}=\frac{7200}{(x+100)^{2}} \)