Zeige, dass ein Gebiet wegzusammenhängend ist.

Question

Aufgabe:

Sei \(\mathcal{V}\) ein normierter Vektorraum und \(G \subseteq \mathcal{V}\) ein Gebiet. Zeige, dass \(G\) wegzusammenhängend ist.

Problem/Ansatz:

Ich dachte, man könnte die Menge $$G(x) := \{ y \in G \ | \ \text{es existiert ein Weg von \(x\) nach \(y\) in \(G\)}\}$$ betrachten und dann zeigen, dass sie offen und abgeschlossen ist. Was hält ihr davon, oder genauer gesagt, wie würdet ihr die Offen- und Abgeschlossenheit zeigen?

Comments

Wie habt Ihr "Gebiet" definiert?

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@Mathhilf Wenn (X,d) ein m.R. ist, dann ist ein Gebiet eine nichtleere, offene, zusammenhängende Teilmenge von X.

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Und wie ist dabei "zusammenhängend" definiert? Von "abgeschlossen" sehe ich da übrigens nichts.

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@nudger X ist zusammenhängend, falls fuer alle offenen Teilmengen \(U,V \subseteq X\): $$U \cup V = X \text{ und } U \cap V = \emptyset \Rightarrow U = \emptyset \text{ oder } V = \emptyset$$ gilt

Answer 1

Ok, dann passt das.

Ja, das kannst Du so machen und das ist auch ein üblicher Weg. Die Idee im Beweis ist, dass der Weg jeweils ein kleines Stück verlängert werden kann ohne G(x) zu verlassen.

Wenn Du es nachlesen willst:

http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/Analysis2SS16/skript.pdf

dort Satz 19.2