Integral bekannt berechne

Question

Aufgabe:

Integral obere Grenze ist 2 und untere Grenze ist -1. f(x)dx=5 ist bekannt.

Daraus soll ich berechnen:

Integral obere Grenze ist 2 und untere Grenze ist -1 also wie beim Bekannten aber berechnen

bei Integral (3f(x)-2)dx

Problem/Ansatz:

Also bei Integralen weiß ich dass man obere Grenze minus die untere rechnet.

Aber wie setze ich die f(x)dx=5 ein?

Answer 1

Linearität des Integrals ausnutzen:

\(   \int \limits_{-1}^2  (3f(x)-2)dx = \int \limits_{-1}^2  (3f(x))dx - \int \limits_{-1}^2  2dx \) 

\(  = 3\int \limits_{-1}^2  f(x)dx - \int \limits_{-1}^2  2dx \)

\(  = 3\int \limits_{-1}^2  f(x)dx - 6 \)

Und jetzt das bekannte Ergebnis einsetzen gibt 3*5-6 =9.

Comments

Danke, dir aber ich habe da noch so eine Aufgabe: Wäre das richtig von mir angewandt?

integral oben -1 und unten +2 f(x) soll wieder 5 sein.

Integral von -f(x)+1

->

also die 1 integriert = x mit obere und untere grenze kommt -3 raus.

bei -f(x)

würde ich (-1)*5 rechnen

also insgesamt:

-1*5-3 = -8

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Ist ja perfekt.

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Aber muss darf der Betrag negativ sein?

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Integrale können durchaus negative Werte haben.

Sie werden allerdings oft zur Berechnung von Flächenmaßen

benutzt, da nimmt man dann meistens den Betrag

des Integrals, oder aber man spricht von sog.

orientierten Flächeninhalt.

Answer 2

Du nutzt die Linearität des Integrals aus:

\(\int_{-1}^2 (3f(x) - 2)\, dx = 3\int_{-1}^2 f(x)\, dx - 2\int_{-1}^2 \, dx\)

\(=3\cdot 5 - 2\cdot (\text{darfst du selber ausrechnen})\)