ist diese folge mit bruch und wurzel konvergent?

Question

Hallo, ich versuche seit stunden die Konvergenz von sqrt(n⁵+3)/(n²-2n+6) zu berechnen. ich habe schon versucht auszuklammern und x² zu kürzen.. Bin ich da am falschen Weg? Bzw muss ich bevor ich die konvergenz zeige, monotonie und schranke immer zeigen? Wäre sehr dankbar für eine Antwort!

Answer 1

Ausklammern und Kürzen ist der richtige Weg.

Beachte, dass $\sqrt{n^5} = n^2\sqrt n$ gilt.

Dann ist alles Pippifax:

$$\frac{\sqrt{n^5+3}}{n^2-2n+6}= \sqrt n\cdot \frac{\sqrt{1+\frac 3{n^5}}}{1-\frac 2n+\frac 6{n^2}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty\cdot 1 = \infty$$

Answer 2

ich habe schon versucht auszuklammern und n² zu kürzen..

Gute Idee!  sqrt(n⁵+3)/(n²-2n+6) =  sqrt(n⁴ (n+3/n⁴)/(n²-2n+6)

=  n^2sqrt(n+3/n⁴)/(n²-2n+6)=sqrt(n+3/n⁴)/(1-2/n+6/n²).

Zähler geht gegen unendlich, Nenner gegen 1, also nicht konvergent.

Answer 3

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^5 + 3}}{n^2 - 2n + 6} \newline \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^4 \cdot (n + \frac{3}{n^4})}}{n^2 \cdot (1 - \frac{2}{n} + \frac{6}{n^2})} \newline \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2 \cdot \sqrt{n + \frac{3}{n^4}}}{n^2 \cdot (1 - \frac{2}{n} + \frac{6}{n^2})} \newline \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n + \frac{3}{n^4}}}{1 - \frac{2}{n} + \frac{6}{n^2}} \newline \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n + 0}}{1 + 0} = \infty$$

Answer 4

Man braucht nur √n⁵/ n² zu betrachten

n^(5/2)/n² = n¹/2 

lim n^(1/2) = oo für n -> oo

Comments

vielen dank!!