Aufgabe:
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Übung 1
Seien \( a>0 \) und \( x_{0}>0 \) reelle Zahlen. Definiere für \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 1 \) :
\( x_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \)
Zeigen Sie:
a) Für alle \( n \geq 1 \) gilt: \( x_{n}>0, x_{n}^{2} \geq a \) und \( x_{n+1} \leq x_{n} \).
b) Die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert gegen ein \( x \) mit \( x^{2}=a \) und \( x>0 \).
c) Es existiert für alle \( a \in \mathbb{R} \) genau ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x^{2}=a \) und \( x>0 \).
Somit haben Sie gerade die Existenz und Eindeutigkeit von der Quadratwurzel \( \sqrt{a}:=x \in \mathbb{R} \) gezeigt.
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen!
Die folgende Aufgabe wurde in den Übungen behandelt, welche ich aber aufgrund von Krankheit verpasst habe. Deshalb wende ich mich in die Runde, kann mir möglicherweise einer helfen den Ansatz zu finden ? Ich wäre sehr verbunden!
