Zeige, dass der Zentralisator von H gleich dem Normalisator von H ist:

Question

Aufgabe:

Sei \( H \) die Untergruppe von \( G=\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \), die durch
\( A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}\right) \)
erzeugt wird. Zeige, dass der Zentralisator von \( H \) gleich dem Normalisator von \( H \) ist (d.h. \( Z_{G}(H)=N_{G}(H) \) gilt).

Problem/Ansatz:

1. Zentralisator von \( H \) in \( G \) :
Der Zentralisator \( Z_{G}(H) \) ist die Menge aller Elemente \( g \in G \), die jedes Element \( h \in H \) kommutieren lassen, d.h., \( g h=h g \) für alle \( h \in H \).
2. Normalisator von \( H \) in \( G \) :
Der Normalisator \( N_{G}(H) \) ist die Menge aller Elemente \( g \in G \), für die gilt \( g H g^{-1}=H \). Das bedeutet, dass \( g \) eine Konjugation auf \( H \) darstellt und \( H \) sich unter dieser Konjugation nicht ändert.

Wenn ich die Thematik richtig verstehe müsste ich also folgendes zeigen:

Zunächst zeigt man \( Z_{G}(H) \subseteq N_{G}(H) \) :
Sei \( g \in Z_{G}(H) \), d.h., \( g h=h g \) für alle \( h \in H \). Man will zeigen, dass \( g H g^{-1}= \) \( H \).
Da \( H=\langle A\rangle \), können wir schreiben: \( h=A^{n} \) für ein \( n \in \mathbb{Z} \) und prüfen \( g A g^{-1} \) :
\( g A g^{-1}=g\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 5 & 6\end{array}\right) g^{-1}=( \) unter Verwendung von \( g h=h g)= \) \( \left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 5 & 6\end{array}\right)=A \)
Da \( g A g^{-1}=A \) für alle \( h \in H \), folgt \( g H g^{-1}=H \), und somit ist \( g \in N_{G}(H) \).

\( N_{G}(H) \subseteq Z_{G}(H) \) :
Sei \( g \in N_{G}(H) \), d.h., \( g H g^{-1}=H \). Man zeigt, dass \( g h=h g \) für alle \( h \in \) \( H \).
Da \( H=\langle A\rangle \), gilt \( h=A^{n} \) für ein \( n \in \mathbb{Z} \).
Dann ist \( g h g^{-1}=A^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{Z} \). Das bedeutet, dass \( g h=h g \) für alle \( h \in H \), da \( g \) mit jedem Element in \( H \) vertauscht werden kann. Somit folgt auch in diesem Fall, dass \( g \in Z_{G}(H) \).

Stimmt das soweit bzw. habe ich was übersehen? Damit müsste dann doch die Gleichheit folgen??

Answer 1

Ich kann in dem Beweis keinen Fehler finden.

Es wundert mich nur ein wenig, dass die

spezielle Wahl  \( \left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 5 & 6\end{array}\right)=A \)

nirgendwo benutzt wird. Dann müsste das ja für jedes A

gelten.

Comments

@mathef: Danke dir für dein feedback!

Es wundert mich nur ein wenig, dass die spezielle Wahl nirgendwo benutzt wird

Meinst du damit, dass die Beweisführung zu allgemein ist? - Dann ist mir aber noch nicht klar, wie ich das dann genau für dieses gegebene A konkretisiere??

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Für Dann ist \( g h g^{-1}=A^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{Z} \) fehlt die Begründung.

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@Gast hj2166: Ok - danke für den Hinweis, aber wie zeige ich das?:

\( g h=h g \) für dieses spezielle \( h=A^{n} \).
Es gilt \( g A^{n} g^{-1}=A^{n} \) aufgrund der Annahme, dass \( g H g^{-1}=H \). Impliziert \( g h g^{-1}=A^{n} \), da \( g A^{n} g^{-1}=A^{n} \).

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gHg^-1 = H ist eine Aussage über Mengen, nicht über spezielle Elemente wie dein gAⁿg^-1 = A^n.

Die Mengengleichheit  gH = Hg bedeutet, dass es zu jedem h∈H ein h'∈H gibt, so dass gh = h'g ist und zu jedem k∈H ein k'∈H gibt, so dass kg = k'g ist. Und weil H von A erzeugt wird, bedeutet das, dass es zu jedem n∈ℤ ein n'∈ℤ gibt, so dass gA^n = A^{n'}g und dass es zu jedem m∈ℤ ein m'∈ℤ gibt, so dass A^mg = gA^{m'} ist.
Du sollst nun nachweisen, dass n'=n und m'=m gewählt werden können.