Aloha :)
zu 1) Du erinnerst du dich an die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$und stellst fest, dass du damit die gesuchte Summe in zwei konvergente geometrische Reihen aufteilen kannst:$$\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{3}{2^n}+\frac{(-1)^n}{3^n}\right)=3\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac12\right)^n+\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac13\right)^n=3\cdot\frac{1}{1-\frac12}+\frac{1}{1-\left(-\frac13\right)}$$$$\phantom{\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{3}{2^n}+\frac{(-1)^n}{3^n}\right)}=3\cdot\frac{2}{2-1}+\frac{1}{\frac43}=6+\frac34=\frac{27}{4}$$
zu 2) Hier ersetzen wir zunächst die obere Grenze der Summe durch \(n\), formen die erhaltene Summenformel um und lassen anschließend \(n\) unendlich groß werden.$$S(n)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{\pink1}{(2k+1)(2k-1)}=\pink{\frac12}\sum\limits_{k=1}^n\frac{\overbrace{(2k+1)-(2k-1)}^{\pink{=2}}}{(2k+1)(2k-1)}$$$$\phantom{S(n)}=\frac12\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\frac12\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{2k-1}-\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{2k+1}\right)$$$$\phantom{S(n)}=\frac12\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{2k-1}-\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{n\pink{+1}}\frac{1}{2(k\pink{-1})+1}\right)=\frac12\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{2k-1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k-1}\right)$$$$\phantom{S(n)}=\frac12\left(\frac{1}{2\cdot\pink1-1}+\sum\limits_{k=\pink2}^n\frac{1}{2k-1}-\sum\limits_{k=2}^{\pink n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2(\pink{n+1})-1}\right)$$$$\phantom{S(n)}=\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)$$Damit ist der Grenzwert \(n\to\infty\) der Summe klar: \(S(\infty)=\frac12\).
Solche Summen, bei denen dir eine Indexverschiebung hilft, sind in der Literatur als "Teleskopsummen" bekannt, falls du dich im Netz weiter darüber informieren möchtest ;)
