Konvergenz von Reihen und Beweisen der Aussagen

Question

Aufgabe:

Untersuchen von Reihen auf (absolute) Konvergenz und beweisen sie ihre Aussagen.

Problem/Ansatz:

Ich komme bei diesen beiden Reihen nicht weiter (denkt euch das Summenzeichen davor)

1)(n⁴²)/(1+ε)ⁿ

2) n*qⁿ  q ist aus R

Ich erkenne leider nicht, welches Kriterium man anwenden muss.

Außerdem würde ich noch gerne zur Kontrolle wissen, ob ich diese Reihen richtig untersucht habe:

3)(n³)/(2n³+1)

Bei dieser Reihe habe ich mir den Grenzwert der Folge angeschaut und bin auf 1/2 gekommen. Da dieser Grenzwert ungleich null ist, divergiert die Reihe.

4)(sqrt{n})/(sqrt{n⁵+1})

Hier habe ich das Majorantenkriterium (versucht) zu benutzen, und habe dann die neue, größere Folge gegen unendlich gehen lassen, dabei bin ich auf 1 gekommen. Wie oben divergiert deswegen die Reihe.

Ich bin mir unsicher bei meinen Ergebnissen und weiß auch nicht genau, wie "beweisen Sie ihre Aussagen" gemeint ist. Wäre super, wenn mir jemand helfen kann :)

Comments

Versuche es doch mal bei 1 und 2 mit dem Quotientenkriterium.

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Bei 1) komme ich damit auf 1/(1+ε)

Bei 2) auf q+(q/n)

Leider weiß ich nicht, was ich mit diesen Ergebnissen anfangen soll :/

Bei 1) liegt der Grenzwert ja immer zwischen 0 und 1 für jedes ε. Heißt das dann, das die Reihe absolut konvergiert?

Bei 2) komme ich nicht weiter.

Answer 1

Bei 1):

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(n+1)^{24}}{(1+e)^{n+1}}\frac{(1+e)^n}{n^{24}}=(1+\frac{1}{n})^{24}\frac{1}{1+e} \to \frac{1}{1+e}$$

Weil dieser Grenzwert kleiner als 1 ist (ich nehme an e>0), konvergiert die Reihe nach dem Qutientenkriterium.

Bei 2)

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(n+1)|q|^{n+1}}{n|q|^n}=(1+\frac{1}{n})|q| \to |q|$$

Wenn |q|<1 ist, dann ist die Reihe absolut konvergent, falls |q|>1 ist sie divergent. Für |q|=1 gibt das Quotientenkriterium keine Auskunft, aber in diesem Fall konvergieren die Summenden nicht gegen 0, so dass die Reihe divergiert.