Aufgabe zu Gruppen,zeige dass

Question

Aufgabe:

⟨G, ⊕⟩ sei eine Gruppe.
1. Zeigen Sie, dass

(a ⊕ b)⁻¹ = b⁻¹ ⊕ a⁻¹
gilt, für alle a, b ∈ G.

2.Finden Sie ein Beispiel, so dass für eine Gruppe ⟨G, ⊕⟩ und a, b ∈ G folgende Gleichheit nicht
gilt:
(a ⊕ b)⁻¹ = a⁻¹ ⊕ b⁻¹
Problem/Ansatz:

Kann mir jemand dabei helfen die Aufgaben zu lösen? Ich habe nicht einmal einen Ansatz. Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Zeige, dass \(a \oplus b \oplus (a\oplus b)^{-1}=a \oplus b \oplus b^{-1}\oplus a^{-1}\) das neutrale Element der Gruppe ergibt.

2. Betrachte Matrizengruppen.

Comments

a⊕b⊕(a⊕b)^-1= a⊕b⊕b^-1⊕a^-1

= a⊕(b⊕(b^-1⊕a^-1))    | Assoziativ

=a ⊕((b⊕b^-1)⊕a^-1)    |kommutativ

=a⊕(e⊕a^-1)

=a⊕a^-1

=e

Wäre das so korrekt?

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Sieht ganz gut aus.

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Vielen Dank dafür, dann wage ich mich mal an die zweite Teilaufgabe.

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VIel Erfolg. :) Da kann man ja einfach ein bisschen probieren.

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vielleicht brauche ich doch noch einen Tipp. Ist es für die Aufgabe vollkommen ausreichend wenn ich einen direkten Beweis ausführe, sodass ich konkrete Zahlen gebe wo die Gleichheit nicht gegeben ist oder muss/soll ich dies allgemein halten. Ich denke Matrizen dürfen wir nicht verwenden, da diese noch nicht in den Vorlesungen vorkamen.

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Es reicht ein Beispiel, so dass es nicht erfüllt ist. Du musst aber sicherstellen, dass es eine Gruppe ist.

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Folgendes habe ich jetzt erarbeitet.

Sei Sg₃ (123) eine symmetrische Gruppe

Sei a(123) und b(23)

1. (a⊕b)^-1 = ((123)(23))^-1

=(123)^-1  (23)^-1

=(321)(32)

2.a^-1⊕b^-1= (321)⊕(32)

könntest du mir dazu ebenfalls Feedback geben?

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Und wo sieht man jetzt, dass die Gleichheit nicht gilt? Das ist noch unvollständig.

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Da zwei verschiedene Ergebnisse vorkommen, erfüllt die Gruppe die Gleichheit nicht. Hätte gedacht, dass es so ausreicht.

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Wo siehst du zwei verschiedene Ergebnisse? In beiden Fällen ist es (321)(32). Irgendwas stimmt da nicht.

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Irgendwie verwirren mich die Permutationen etwas, habe nun bei

(123 ⊕ 23)^-1 =(13)

und bei

(321)⊕(32) =(12) raus

aber so ganz verstehen tue ich es nicht

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Noch nie mit Permutationen gearbeitet?

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Tatsächlich nicht

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Und das ist erlaubt, aber Matrizen nicht? :D

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Ja das nehme ich an, weil diese noch nicht Inhalt in den Vorlesungen waren.

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Die symmetrische Gruppe mit Permutationen schon?

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Ja aber nochmal zurück zur Aufgabe. Was mache ich denn falsch?

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(321)⊕(32) =(12) raus

Das ergibt zum Beispiel (13).