Quadratische Pyramide berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine quadratische Pyramide.

a) Berechne den Winkel \( \alpha \), den die Grundfläche mit der Seitenfläche bildet, wenn \( a=227 \mathrm{~m} \) und \( h=144 \mathrm{~m} \) betragen.

b) Berechne die Höhe \( h_{a} \) der Seitenfläche und die Oberfläche \( O \) für \( a=35 \mathrm{~m} \) und \( \alpha=51.5^{\circ} \).

c) Berechne die Höhe \( h \) und das Volurnen \( V \) für \( a=27 \mathrm{~cm} \) und \( \alpha=46^{\circ} \)

Answer 1

a)

Zeichne in Gedanken eine Strecke c vom Mittelpunkt des Grundflächenquadrates zu einer der Grundflächenseiten der Pyramide. Diese Strecke c steht senkrecht auf der Grundflächenseite und hat die Länge a / 2 . Sie ist Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Körperhöhe h und dessen Hypotenuse die Höhe der Seitenfläche der Pyramide ist.

Wenn du dir das alles vorstellen kannst, ist die Rechnerei nur noch halb so schlimm.

Der Winkel alpha, den die Grundfläche mit der Seitenfläche bildet, ist gleich dem Winkel zwischen der oben beschriebenen Strecke  c und und der Seitenflächenhöhe. Für diesen Winkel gilt: 

tan ( alpha ) = h / c

<=> alpha = arctan ( h / c ) = arctan ( 144 / 113,5 ) ≈ 51,8 °

 

b)

Wie oben gezeigt gilt:

c = a / 2

Mit  a = 35 cm ergibt sich daraus:

c = 17,5 cm

und somit für die Höhe h der Pyramide

h = c * tan ( alpha ) = 17,5 * tan ( 51,5 ° ) ≈ 22, 0 cm

 

Gemäß dem Satz des Pythagoras ergibt sich damit für die Höhe h_a einer Seitenfläche:

h_a² = h ² + c ²

<=> h_a = √ ( h ² + c ² ) = √ ( 22 ² + 17,5 ² ) ≈ 28,1 cm.

Der Flächeninhalt A _S einer Seitenfläche ist dann:

A_S  = a * h _a / 2 = 35 * 28,1 / 2 ≈  491, 8 cm ²

Und somit beträgt der Oberflächeninhalt O:

O = a ² + 4 * A_S = 35 ² + 4 * 491, 8 = 3192,2 cm ²

 

c)

c = a / 2

Mit  a = 27 cm ergibt sich daraus:

c = 13,5 cm

und somit für die Höhe h der Pyramide

h = c * tan ( alpha ) = 13,5 * tan ( 46 ° ) ≈ 14,0 cm

 

Das Volumen V einer Pyramide berechnet man nach der Formel:

V = ( 1 / 3 ) * G * h

mit G : Grundflächeninhalt, vorliegend: G = a ² = 27 ² = 729 cm ² , also:

V = ( 1 / 3 ) * 729 * 14 = 10206 cm ³

Answer 2

Es gilt:

TAN(α) = h / (a/2) = 2·h/a

α = TAN^{-1}(2·h/a)
a = 2·h / TAN(α)
h = a·TAN(α)/2

Wenn du a und α hast, kannst du also ohne Probleme h ausrechnen und dann wie bei einer gegebenen Pyramide verfahren.

Wichtig: Der Taschenrechner sollte für berechnungen im Gradmaß auf DEG stehen.