Meine Frage: Was passiert mit der 1 im Zähler?

Question

Aufgabe: Folgender Ausdruck soll vereinfacht werden: (1/27)^-2/3

Problem/Ansatz:

Lösung (9) und Rechenweg habe ich.

Erster Schritt: Aus dem Ausdruck wird 27^2/3 gemacht

Meine Frage: Was passiert mit der 1 im Zähler? Warum ändert sich das Vorzeichen?

Answer 1

Potenzen mit negativen Exponenten sind mittels

        \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)

definiert. Grund für diese Definition ist, dass dann die Potenzgesetze, die du von positiven Exponenten kennst, auch für negative Exponenten gelten.

Setze \(a=\frac{1}{27}\) und \(n=\frac{2}{3}\) ein.

Answer 2

Die Regel lautet \((\frac{a}b)^{-c} =(\frac{b}a)^c\)

Also: Das Vorzeichen im Exponenten wird durch die Kehrwertbildung umgedreht, daher wird hier aus minus plus und dann ist es weg.

Und beim Kehrwert von \(\frac1{27}\) wandert die 1 in den Nenner, so was schreibt man aber nicht mehr hin, daher sieht man die 1 nicht mehr.

Answer 3

Es gilt \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\). Folglich wird \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{27^{-\frac{2}{3}}}\) zu \(27^{\frac{2}{3}}\).

Answer 4

(1/27)^(-2/3) =  (1/3^3)^(-2/3) = (3^-3)^(-2/3) = 3^(-3*(-2)/3)) = 3^(6/3) = 3^2 = 9