Grenzwert und Konvergenz bestimmen mit an= n^4 (\sqrt[10]{1+3n^{-4}+n^{-9}}- 1)?

Question

Aufgabe:

Grenzwert und Konvergenz bestimmen:

a_n= n⁴ (\(\sqrt[10]{1+3n^{-4}+n^{-9}}- 1\))

Ich bin ein bissle überfordert die konvergenz und den Grenzwert zu bestimmen. Bzw. bin ich mir nicht sicher ob meine Rechnung inordnung ist:

Kann man das so rechnen? Weil das würde eigentlich heißen das es keinen bestimmten Grenzwert gibt bzw divergent ist. Oder?

Comments

Wie kommst du auf 3*0 ?

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+%28%281-3%2Fn%5E4%2B1%2Fn%5E9%29%5E%281%2F10%29-1%29*n%5E4

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Du hast dich bei der Wolfram-Eingabe vertippt. (Vorzeichen +3/n⁴).

Der GW ist 3/10.

Answer 1

Mach es doch einfach für x→∞ mit De Hospital.

Da kommst du schnell auf Grenzwert 3/10.

Etwa so:

 \(n^4 \cdot (\sqrt[10]{1+3n^{-4}+n^{-9}}- 1) =\frac{\sqrt[10]{1+3n^{-4}+n^{-9}}- 1}{n^{-4}}=\frac{(1+3n^{-4}+n^{-9})^\frac{1}{10}- 1}{n^{-4}}\)

Das wäre für n gegen unendlich der Grenzwerttyp 0/0, geht also mit De Hospital.

Betrachte dazu:

 \( \frac{\frac{1}{10}\cdot(1+3n^{-4}+n^{-9})^\frac{-9}{10}(-12n^{-5}-9n^{-10})}{-4n^{-5}}=\frac{\frac{1}{10}\cdot(1+3n^{-4}+n^{-9})^\frac{-9}{10}(-12-9n^{-5})}{-4}\)

Für n gegen unendlich bleibt \( \frac{\frac{1}{10} \cdot(-12)}{-4} =   \frac{3}{10}\)

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Vielen Dank! Aber wie kamst du eigentlich darauf mit de hospital zu rechnen? Und kürzt sich nicht das n^4 weg wenn man es mit 10ten Wurzel(...) dividiert?

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Hospital ist ja bei Grenzwerttyp  ∞*0 manchmal günstig.

Und damit sich das n4 kürzt, müsste ja in der Wurzel

was mit n⁴⁰ sein.

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Ich verstehe. Danke, ich hätte allerdings noch eine Frage.

Wie biat du denn von

\(\frac{\frac{1}{10} \left( \left(1 + 3n^{-4} + n^{-9}\right)^{-\frac{9}{10}} \cdot \left(-12 - 9n^{-5}\right) \right)}{-4}\)

zu

\(\frac{\frac{1}{10} \left( -12 \right)}{-4}\)

gekommen? Hast du irgendwie was gekürzt? Weil wenn ich es versuchen es zusammen zu fassen kommen immer komische werte raus :0

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Das ist der Grenzwert für n gegen unendlich.

Answer 2

Hier noch ein Weg ohne L'Hospital.

Folgende Formel kennst du wahrscheinlich schon:

\(a^{10} - 1 = (a-1)(a^{9}+\cdots + a + 1)\)

Für deinen Grenzwert stellst du nur noch um:

\(a-1 = \frac{a^{10} - 1}{a^{9}+\cdots + a + 1} \quad (1)\)

Um Schreibarbeit zu sparen, setze ich

\(\displaystyle w_n = \sqrt[10]{1+3n^{-4}+n^{-9}} \Rightarrow \lim_{n\to\infty} w_n = 1 \quad (2)\)

Hier kommt die nun kurze Berechnung des Grenzwertes:

\(n^4(w_n-1) \stackrel{(1)}{=}n^4\frac{3n^{-4}+n^{-9}}{w_n^9 + \cdots + w_n + 1}\)

\(=\frac{3+n^{-5}}{w_n^9 + \cdots + w_n + 1}\stackrel{(2), n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 3{1^9+\cdots + 1+1} = \frac 3{10}\)

Comments

Oh, danke danke :)