Zeigen Sie durch Multiplikation von Reihen das Additionstheorem des Kosinus

Question

Aufgabe: Gegeben ist

cos(x) := $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

sin(x) := $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

Zeigen Sie durch Multiplikation von Reihen das Additionstheorem des Kosinus:
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) für alle x, y ∈ R.

Hinweis: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n} = \sum\limits_{n=1}^\infty{a_{n-1}}$

Problem/Ansatz:

Hallo! Ich ärgere mich schon seit einigen Tagen mit dieser Aufgabe herum. Mein Ansatz war, einfach cos(x)*sin(y)-sin(x)*sin(y) als Multiplikation von den Reihen zu schreiben und zu hoffen, dass am Ende cos(x+y) dabei herauskommt. Leider bin ich nur bis zu dem Schritt:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \cdot \frac{(x+y)^{2n-2}}{(2n-2)!}} - \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \cdot \frac{(x+y)^{2n}}{(2n)!}}$

Jetzt komme ich leider nicht mehr weiter. Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte.

LG

Comments

Hast du das Cauchy-Produkt angewendet? Sieht mir jedenfalls nicht danach aus.

---

Ich wusste nicht dass man das machen soll, ich probiere es mal. Wende ich das Cauchy Produkt auf das cos(x+y) oder auf die andere Seite der Gleichung an?

---

Es war schon richtig, mit der rechten Seite anzufangen. Aber du kannst Reihen nicht einfach summandenweise multiplizieren. Bei der Multiplikation zweier Reihen benötigt man immer das Cauchy-Produkt. Der Nachweis erfordert einiges an Rechnerei.

Answer 1

Wende das Cauchy-Produkt für Reihen an. Der Nachweis erfordert etwas Rechnerei.

https://www.math.kit.edu/iana2/lehre/hm1inf2011w/media/hm07lsg.pdf

Dort findest du auf Seite 3/4 einen Beweis für das andere Additionstheorem. Das kann sicherlich helfen.

Comments

Super, vielen vielen Dank :-)