Vektorialgeometrie am Kreis (Weihnachtsaufgabe)

Question

Aufgabe:

In der Zeit vor Weihnachten fährt der Weihnachtsmann zu Übungszwecken mit dem Rentierschlitten auf einer kreisförmigen Bahn, die durch die Gleichung x² + y²-6x+10y+9=0 (1 LE-10 m) beschrieben wird.

Geben Sie den Mittelpunkt M, und den Durchmesser dieses Kreises k₁ an.

Im Punkt P(4,5 | -7) hat der Weihnachtsmann einen Sack mit Geschenken abgestellt. Liegen die Geschenke innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis?

Nach dem Training lädt er in P die Geschenke auf und fährt auf einer geradlinigen Bahn Richtung M₁. Im Schnittpunkt T dieser Gerade mit der Kreisbahn k, stellt er einen Tannenbaum auf und fährt in tangentialer Richtung nach Hause. Geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an k₁ an.

Um die Trainingsstrecke zu erweitern, plant der Weihnachtsmann einen zweiten Kreis k₂, mit dem Radius 7, der den Kreis k₁, von außen berührt. Geben Sie die Gleichung eines solchen Kreises an.

Entlang einer geraden Stecke mit der Gleichung y= -0,5x + 2 fährt der Polarexpress. Wie liegt diese Gerade zur Kreisbahn k₁?

Bei drei Kindern in den Punkten A(1 | 3), B(7 | 5) und C(3 | 9) hat der Weihnachtsmann vergessen die Geschenke abzugeben. In einem Punkt D, der von A, B und C jeweils den gleichen Ab- stand hat und in derselben Ebene liegt, möchte er eine Geschenkeabholstation einrichten. Beschreiben Sie, wie er den Punkt D durch Konstruktion auf der Landkarte ermitteln kann. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D.

Problem/Ansatz:

Ich habe die ersten Aufgaben (hoffentlich) schon gelöst.

Die Kreisgleichung ergibt bei mir: (x₁-3)² + (y₁+5)²=25

M sollte hier ja die Koordinaten M(-3|5) haben und der Durchmesser des Kreises sollte d=10LE bzw 100m sein?

Der Punkt P sollte außerhalb des Kreises liegen, da ich mit der Formel:

d(M,P)=√((x₁-x_M)² + (y₁-y_M)²)

auf ein Ergebnis von √200,25 ≈ 14,15 gekommen bin. Und somit größer als der Radius r=5 sein sollte?

Nun scheitere ich allerdings an der Tangente. Kann mir da jemand bitte auf die Sprünge helfen?

Ich habe versucht, es über m_PM= (y_p-y_M) ÷ (x_P-x_M) , wobei m der Anstieg der Geraden PM ist.

Dann ist m_T = - 1÷ m_PM

dann setze ich P und m_T in die geradengleichung y=mx+n ein um n zu ermitteln und bekomme dann im Endeffekt die Geradengleichung für T raus:

y= 5/8x - 45/16 heraus.

Das sieht aber falsch aus?

Answer 1

Die Vorzeichen deiner Mittelpunktskoordinaten sind falsch.

Comments

Schon mal vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ok, sind dann die Koordinaten M(3|-5)? dann habe ich wohl ein bisschen zu hastig abgelesen bzw die Grundformel Kreis nicht richtig im Kopf gehabt.

Habe ich soweit aber die richtigen Ansätze oder ist das Murks?

Answer 2

Hallo

bei d(PM) hast du dich gründlich verrechnet! der Punkt liegt weit innerhalb,

die Kreisgleichung hast du richtig, aber damit ist M=((3,-5)  damit ist wohl auch dein d falsch.

entsprechend dann die Gerade, Wenn du M richtig hast ist die Gerade durch (y-ym)/(x-xm)= (yp-ym)/(xp-xm) bestimmt. die Mit k schneiden (Kontrolle T=(-1,0) dort die Tangenten. (x-xm)*(xT-xm)+(y-ym)*(yTym)=25

anderer Weg, die Steigung der Tangente ist senkrecht zu der Geraden also  m1*m2=-1 m1 die Gerade hat Steigung -4/3  also Tangente 3/4.

(Warum hast du den Kreis nicht einfach skizziert? dann einen Punkt in die Gleichung eingesetzt um zu überprüfen?)

Gruß lul

Comments

Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort und die guten Tipps (y)

Ich war leider nicht sehr konzentriert wie es aussieht. Ich setz mich noch mal ran und rechne das noch mal neu durch.

Ich hoffe, dass ich dann besser zurechtkomme.

Answer 3

In der Zeit vor Weihnachten fährt der Weihnachtsmann zu Übungszwecken mit dem Rentierschlitten auf einer kreisförmigen Bahn, die durch die Gleichung \(x² + y²-6x+10y+9=0\) (1 LE-10 m) beschrieben wird.
Geben Sie den Mittelpunkt M, und den Durchmesser dieses Kreises \(k_1\) an.

\(x² -6x+ y²+10y+9=0\) 

\(f(x,y)=x² -6x+ y²+10y+9\) 

\(\frac{df(x,y)}{dx}=2x-6\)

\(2x-6=0\)  \(x=3\)   → \(9 -18+ y²+10y+9=0\)  → \( y²+10y=0\) → \( y_1=0\)    \( y_2=-10\)

\(M(3| \frac{0+(-10)}{2})\) →  \(M(3| -5) \)   \(d=100m\)

Im Punkt P(4,5 | -7) hat der Weihnachtsmann einen Sack mit Geschenken abgestellt. Liegen die Geschenke innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis?

\(f(4.5,-7)=4,5^{2} -6 \cdot 4,5+ (-7)^{2}+10\cdot(-7)+9\)

\(4,5^{2} -6\cdot4,5+ (-7)^{2}+10\cdot(-7)+9=0??\)

\(-18,75<0\)   P liegt innerhalb des Kreises.

Nach dem Training lädt er in P die Geschenke auf und fährt auf einer geradlinigen Bahn Richtung M₁. Im Schnittpunkt T dieser Gerade mit der Kreisbahn k, stellt er einen Tannenbaum auf und fährt in tangentialer Richtung nach Hause. Geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an k₁ an.

Geradengleichung durch P und M_1:

\( \frac{y-(-5)}{x-3}=\frac{-7-(-5)}{4,5-3} \)→ \( y=-\frac{4}{3}x-1 \)

Schnitt mit \(k_1\):

\(x^2-6x+(-\frac{4}{3}x-1)^{2}+10\cdot(-\frac{4}{3}x-1)=-9\)

\(T_1(0|-1)\)    (T_2\)  wird nicht benötigt.

Tangente an \(k_1\) in  \(T_1(0|-1)\):

Orthogonale Steigung : \(m_2=\frac{3}{4}\)

Tangentengleichung:

\(y=0,75x-1\)

Um die Trainingsstrecke zu erweitern, plant der Weihnachtsmann einen zweiten Kreis \(k_2\), mit dem Radius \(r_2=7\), der den Kreis k1, von außen berührt. Geben Sie die Gleichung eines solchen Kreises an.

\(k_1\) berührt die x-Achse in \(B(3|0)\)

Auch \(k_2\) soll die x-Achse in \(B(3|0)\) berühren. \( r_2=7 \)    \(M_2(3|7)\)

Kreisgleichung: \((x-3)^2+(y-7)^2=49\)

Answer 4

x^2 + y^2 - 6·x + 10·y + 9 = 0

x^2 - 6·x + 9 + y^2 + 10·y = 0

x^2 - 6·x + 9 + y^2 + 10·y + 25 - 25 = 0

(x - 3)^2 + (y + 5)^2 - 25 = 0

(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 5^2

Mittelpunkt M(3 | -5) und Radius 5 LE bzw. Durchmesser 10 LE = 100 m.