Question

Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von
\( \frac{-2 x^{3}+36 x^{2}-199 x+375}{x(x-5)^{3}} . \)

Answer 1

(- 2·x^3 + 36·x^2 - 199·x + 375)/(x·(x - 5)^3) = A/x + B/(x - 5)^3 + C/(x - 5)^2 + D/(x - 5)

Mit dem Hauptnenner multiplizieren

- 2·x^3 + 36·x^2 - 199·x + 375 = A·(x - 5)^3 + B·x + C·x·(x - 5) + D·x·(x - 5)^2

Setze naheliegende Werte wie 0, 1, 2 und 5 ein und stelle damit ein LGS auf.

375 = - 125·A
210 = - 64·A + B - 4·C + 16·D
105 = - 27·A + 2·B - 6·C + 18·D
30 = 5·B

Ich erhalte als Lösung: A = -3 ∧ B = 6 ∧ C = 1 ∧ D = 1

Damit lautet die Partialbruchzerlegung

(- 2·x^3 + 36·x^2 - 199·x + 375)/(x·(x - 5)^3) = -3/x + 6/(x - 5)^3 + 1/(x - 5)^2 + 1/(x - 5)

Comments

wie kommst du auf die Werte 0, 1, 2, 5?

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wie kommst du auf die Werte 0, 1, 2, 5?

0 und 5 sind die Nullstellen des Nenners. Werden sie eingesetzt, ergeben sich zwei einfache Gleichungen zur Bestimmung von A bzw. B.

Es werden aber noch zwei weitere Gleichungen benötigt. Dazu kann man irgendwelche weiteren Zahlen für x wählen und einsetzen. Ich hätte hier vielleicht x=6 genommen.

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Das sind einfache Werte, die ich mir frei gewählt habe.

Ich wähle 0 und 5, da dadurch auf der rechten Seite viele Unbekannte entfallen.

Zusätzlich nehme ich 1 und 2. Zwar fallen dadurch keine Unbekannten weg, aber die Gleichungen bleiben dennoch relativ einfach.