zeigen, dass f(x) = (sin(x), sin(2x)) auf (-pi,pi) injektiv ist?

Question

Wie kann man zeigen, dass f:(-pi,pi) -> ℝ²   mit x↦(sin(x), sin(2x)) injektiv ist?

Ich weiß, dass man f(x)=f(y) => x=y zeigen muss. Es gelingt mir nur nicht.

Answer 1

Hallo

die Kurve hat in (0,0) einen Doppelpunkt, aber der wird doppelt nur durch pi oder -pi erreicht

da die ausgeschlossen sind ist das injektiv. du kannst das einfach für die 2 Komponenten einzeln zeigen, hier die Kurve

lul

Comments

Vielen lieben Dank lul.

Ich wollte es eben für die 2 Komponenten einzeln zeigen, hab es aber nicht hinbekommen.

Nun habe ich einen Lösungsvorschlag:

sin(x) = sin(y) => x = y oder y = pi - x

angenommen y = pi - x.

in II eingesetzt: sin(2x) = sin(2pi-2x)

<=> sin(2x) = sin(2pi)*cos(2x)-sin(2x)*cos(2pi)

<=> sin(2x) = -sin(2x)

=> x = 0

=> y = pi - 0 = pi, Widerspruch zu y∈(-pi,pi)

also muss gelten x=y.

Sollte so klappen, oder?

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hallo

ich finde das reicht.

Gruß lul