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Aufgabe:

Gesucht ist ein Näherungswert für das Integral
I=012ex2 dxI=\int \limits_{0}^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} \mathrm{~d} x \text {. }
a) Nähern Sie den Integranden durch eine Potenzreihe an der Entwicklungsstelle x0=0 x_{0}=0 an und berücksichtigen Sie alle Reihenglieder bis zur Ordnung 4.
ex2=+O(x5)e^{x^{2}}=\square+\mathcal{O}\left(x^{5}\right)
b) Integrieren Sie die Potenzreihe aus Teilaufgabe a) und berücksichtigen Sie alle Reihenglieder bis zur Ordnung 5.
ex2=+O(x6)\int e^{x^{2}}=\square+\mathcal{O}\left(x^{6}\right)
c) Berechnen Sie einen Näherungswert für das Integral I I mithilfe der Potenzreihe aus Teilaufgabe b).
II \approx


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte die Lösung mit Rechenweg zeigen das ich es nachvollziehen kann ich bin etwas lost bei der Aufgabe

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Aloha :)

Die Potenzreihe der exe^x-Funktion ist mathematisches Allgemeinwissen:ex=n=0xkk!e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^k}{k!}Da können wir für xx auch x2x^2 einsetzen:ex2=n=0(x2)kk!=(x2)00!+(x2)11!+(x2)22!+(x2)33!=1+x2+x42+x66+e^{x^2}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(x^2)^k}{k!}=\frac{(x^2)^0}{0!}+\frac{(x^2)^1}{1!}+\frac{(x^2)^2}{2!}+\frac{(x^2)^3}{3!}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}+\cdotsWir sollen die Näherung bis zur 5-ten Ordnung verwenden, also setzen wir:ex2=1+x2+x42+O(x5)e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+O(x^5)

Das kannst du nun integrieren und die Grenzen einsetzen:

01/2ex2dx01/2(1+x2+x42)dx=Das kriegst du alleine hin.\int\limits_0^{1/2}e^{x^2}\,dx\approx\int\limits_0^{1/2}\left(1+x^2+\frac{x^4}{2}\right)dx=\text{Das kriegst du alleine hin.}

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a)

T(x)=1+x2+x42+O(x5)T(x) = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + O\left(x^{5}\right)

b)

F(x)=x+x33+x510+O(x6)F(x) = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} + O\left(x^{6}\right)

c)

F(0.25)F(0)=5239600.5448F(0.25) - F(0) = \frac{523}{960} \approx 0.5448

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