Berechnen Sie einen Näherungswert für das Integral I mithilfe der Potenzreihe aus Teilaufgabe b).

Question

Aufgabe:

Gesucht ist ein Näherungswert für das Integral
\(I=\int \limits_{0}^{\frac{1}{2}} e^{x^{2}} \mathrm{~d} x \text {. }\)
a) Nähern Sie den Integranden durch eine Potenzreihe an der Entwicklungsstelle \( x_{0}=0 \) an und berücksichtigen Sie alle Reihenglieder bis zur Ordnung 4.
\(e^{x^{2}}=\square+\mathcal{O}\left(x^{5}\right)\)
b) Integrieren Sie die Potenzreihe aus Teilaufgabe a) und berücksichtigen Sie alle Reihenglieder bis zur Ordnung 5.
\(\int e^{x^{2}}=\square+\mathcal{O}\left(x^{6}\right)\)
c) Berechnen Sie einen Näherungswert für das Integral \( I \) mithilfe der Potenzreihe aus Teilaufgabe b).
\(I \approx\)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte die Lösung mit Rechenweg zeigen das ich es nachvollziehen kann ich bin etwas lost bei der Aufgabe

Answer 1

Aloha :)

Die Potenzreihe der \(e^x\)-Funktion ist mathematisches Allgemeinwissen:$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$$Da können wir für \(x\) auch \(x^2\) einsetzen:$$e^{x^2}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(x^2)^k}{k!}=\frac{(x^2)^0}{0!}+\frac{(x^2)^1}{1!}+\frac{(x^2)^2}{2!}+\frac{(x^2)^3}{3!}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}+\cdots$$Wir sollen die Näherung bis zur 5-ten Ordnung verwenden, also setzen wir:$$e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+O(x^5)$$

Das kannst du nun integrieren und die Grenzen einsetzen:

$$\int\limits_0^{1/2}e^{x^2}\,dx\approx\int\limits_0^{1/2}\left(1+x^2+\frac{x^4}{2}\right)dx=\text{Das kriegst du alleine hin.}$$

Answer 2

a)

$$T(x) = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + O\left(x^{5}\right)$$

b)

$$F(x) = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} + O\left(x^{6}\right)$$

c)

$$F(0.25) - F(0) = \frac{523}{960} \approx 0.5448$$