Gleichungen der Tangenten an Kreis

Question

Aufgabe:

Ermittle Gleichungen der Tangente an den Kreis k:4(x^2+y^2)=125, g:X=(-5|-6)+t*(1|2), die zur Geraden g normal sind!

Problem/Ansatz:

… Habe -5+t und -6+2t für x und y eingesetzt, t_1 und t_2 ermittelt...Bekomme aber unendliche Dezimalzahlen heraus...?!?

Die Lösungen sollen sein: t:2x+4y=25 und t:2x+4y=-25.

Könntet ihr mir bitte weiterhelfen?

Vielen Dank vorab!

Answer 1

g hat die Steigung m=2. Eine Normale dazu also m=-0,5.

Somit muss die Gleichung der gesuchten Tangenten von der Form y=-0,5x+n sein.

Schnitt mit dem Kreis gibt:  4(x²+y²)=125  und  y=-0,5x+n

  4(x²+(-0,5x+n)²)=125

<=>  \( 4(x^2 + 0,25x^2 - n \cdot x +n^2) = 125 \)

<=>  \( x^2 + 0,25x^2 - n \cdot x +n^2 = 125/4 \)

<=>  \( 1,25x^2  - n \cdot x +n^2 -125/4  = 0 \)

Jetzt n so wählen, dass diese quadratische Gleichung

genau eine Lösung hat, also Diskriminante = 0

Das gibt  n^2 - 4 * 1,25 * (n^2 -125/4 ) = 0

           n^2 - 5n^2 + 625/4 = 0

        -4n^2 + 625/4 = 0

                                n^2 = 625/16

==>   n = 25/4   oder n=-25/4  Also sind die Tangentengleichungen

y = -0,5x + 24/4     und   -0,5x -25/4  bzw.

                 2x+4y=25 und 2x+4y=-25.

sieht so aus: ~plot~ 25/4-0,5x;sqrt(125/4-x^2);-sqrt(125/4-x^2);-25/4-0,5x ~plot~

Comments

Vielen herzlichen Dank. Nur eine letzte Frage: warum hat die Normale die Steigung -0,5?

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Sry, ja ich weiß schon wieder, Steigung 2/1, Zahlen vertauschen und ein Vorzeichen.. Danke nochmals..

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Ok danke.. :-)

Answer 2

Das kann man auch so machen:

Der Richtungsvektor von \(g\) ist \(d=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\). Das ist dann gleichzeitig der Normalenvektor zu den gesuchten Tangenten \(t_1, t_2\):

\(t_1:\: x+2y = C_1\) und \(t_2:\: x+2y = C_2\)

Ein zu \(d\) orthogonaler Vektor ist \(d_\perp = \begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}\). Gesucht sind also die beiden Punkte \(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\) von \(k\), für die der Tangentialvektor \(\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}\) parallel zu \(d_\perp\) ist:

\(\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}\)

Einsetzen in die Kreisgleichung gibt

\(4(t^2+(-2t)^2)= 125 \Leftrightarrow t=\pm \frac 52\)

Damit erhalten wir die Tangentialpunkte \(\begin{pmatrix} \frac 52\\5 \end{pmatrix}\) und \(-\begin{pmatrix} \frac 52\\5 \end{pmatrix}\).

Einsetzen in die Gleichungen für \(t_1,t_2\) gibt nun die Konstanten \(C_1,C_2\):

\(t_1:\: x+2y = \frac{25}2\) und \(t_2:\: x+2y = -\frac{25}2\).

Wenn du die beiden Gleichungen mit 2 durchmultiplizierst, erhältst du deine Musterlösung.

Comments

Vielen herzlichen Dank! Das hilft mir sehr.. eine Frage: wie kommt man am Ende auf 25/2?

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Du setzt die gefundenen Punkte in die Tangentengleichungen ein und erhältst auf diese Weise die Werte für die Konstanten \(C_1, C_2\). Das steht auch in der Antwort.

Das darfst du gern selber nachrechnen. :-)