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Aufgabe:

Ermittle Gleichungen der Tangente an den Kreis k:4(x2+y2)=125, g:X=(-5|-6)+t*(1|2), die zur Geraden g normal sind!


Problem/Ansatz:

… Habe -5+t und -6+2t für x und y eingesetzt, t_1 und t_2 ermittelt...Bekomme aber unendliche Dezimalzahlen heraus...?!?

Die Lösungen sollen sein: t:2x+4y=25 und t:2x+4y=-25.

Könntet ihr mir bitte weiterhelfen?

Vielen Dank vorab!

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2 Antworten

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g hat die Steigung m=2. Eine Normale dazu also m=-0,5.

Somit muss die Gleichung der gesuchten Tangenten von der Form y=-0,5x+n sein.

Schnitt mit dem Kreis gibt:  4(x2+y2)=125  und  y=-0,5x+n

  4(x2+(-0,5x+n)2)=125

<=>  4(x2+0,25x2nx+n2)=125 4(x^2 + 0,25x^2 - n \cdot x +n^2) = 125

<=>  x2+0,25x2nx+n2=125/4 x^2 + 0,25x^2 - n \cdot x +n^2 = 125/4

<=>  1,25x2nx+n2125/4=0 1,25x^2 - n \cdot x +n^2 -125/4 = 0

Jetzt n so wählen, dass diese quadratische Gleichung

genau eine Lösung hat, also Diskriminante = 0

Das gibt  n2 - 4 * 1,25 * (n2 -125/4 ) = 0

           n2 - 5n2 + 625/4 = 0

        -4n2 + 625/4 = 0

                                n2 = 625/16

==>   n = 25/4   oder n=-25/4  Also sind die Tangentengleichungen

y = -0,5x + 24/4     und   -0,5x -25/4  bzw.

                 2x+4y=25 und 2x+4y=-25.

sieht so aus: Plotlux öffnen

f1(x) = 25/4-0,5xf2(x) = √(125/4-x2)f3(x) = -√(125/4-x2)f4(x) = -25/4-0,5x

Avatar von 289 k 🚀

Vielen herzlichen Dank. Nur eine letzte Frage: warum hat die Normale die Steigung -0,5?

Sry, ja ich weiß schon wieder, Steigung 2/1, Zahlen vertauschen und ein Vorzeichen.. Danke nochmals..

Ok danke.. :-)

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Das kann man auch so machen:

Der Richtungsvektor von gg ist d=(12)d=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}. Das ist dann gleichzeitig der Normalenvektor zu den gesuchten Tangenten t1,t2t_1, t_2:


t1 : x+2y=C1t_1:\: x+2y = C_1 und t2 : x+2y=C2t_2:\: x+2y = C_2


Ein zu dd orthogonaler Vektor ist d=(21)d_\perp = \begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}. Gesucht sind also die beiden Punkte (xy)\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} von kk, für die der Tangentialvektor (yx)\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix} parallel zu dd_\perp ist:


(yx)=t(21)\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}


Einsetzen in die Kreisgleichung gibt

4(t2+(2t)2)=125t=±524(t^2+(-2t)^2)= 125 \Leftrightarrow t=\pm \frac 52

Damit erhalten wir die Tangentialpunkte (525)\begin{pmatrix} \frac 52\\5 \end{pmatrix} und (525)-\begin{pmatrix} \frac 52\\5 \end{pmatrix}.

Einsetzen in die Gleichungen für t1,t2t_1,t_2 gibt nun die Konstanten C1,C2C_1,C_2:


t1 : x+2y=252t_1:\: x+2y = \frac{25}2 und t2 : x+2y=252t_2:\: x+2y = -\frac{25}2.


Wenn du die beiden Gleichungen mit 2 durchmultiplizierst, erhältst du deine Musterlösung.

Avatar von 12 k

Vielen herzlichen Dank! Das hilft mir sehr.. eine Frage: wie kommt man am Ende auf 25/2?

Du setzt die gefundenen Punkte in die Tangentengleichungen ein und erhältst auf diese Weise die Werte für die Konstanten C1,C2C_1, C_2. Das steht auch in der Antwort.

Das darfst du gern selber nachrechnen. :-)

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