x²+x+1==>x=1 wo ist der Fehler beiden Umformungen

Question

Aufgabe:

…

Äquivalenzumformungen
Problem/Ansatz:

a)x²+x+1=0 |:x<>0

b)x+1+1/x=0 |-1/x

c)x+1=-1/x  

d) einsetzen c)-->a) x²-1/x=0 |*x

e)x³-1=0

f)x=1 ???????

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Die Gleichung \( x^3=1 \) hat die 3 Lösungen  \( x_1 =1, x_2=-0,5+0,866i, x_2=-0,5-0,866i\), wobei die beiden komplexen Lösungen die Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^2+x+1=0\) sind.

Answer 1

Aus meiner Sicht ist das das ewige Problem, dass Umformungen durchgeführt werden, ohne die logischen Zusammenhänge zu erfassen. Der FS hat, wenn man es noch etwas besser aufschreiben würde, eine notwendige Bedingung für die Lösung hergeleitet. Aber eben keine hinreichende.

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Der FS hat, wenn man es noch etwas besser aufschreiben würde, eine notwendige Bedingung für die Lösung hergeleitet. Aber eben keine hinreichende.

Gut gesagt. Für diese Thematik ein gutes Beispiel. Ein Plus vom mir dafür.

Answer 2

Es gibt kein x, dass die quadratische Gleichung a) erfüllt.

Von a) wurde zu b) äquivalent umgeformt.

Es gibt also auch kein x, dass die Gleichung b) erfüllt.

Von b) wurde zu c) äquivalent umgeformt.
Es gibt also auch kein x, dass die Gleichung c) erfüllt.

Das bedeutet konkret, dass es kein x mit der Eigenschaft

x+1=-1/x

gibt.

DAS ist der Grund, warum man nicht x+1 durch -.1/x ersetzen darf.

Comments

Ich darf doch grundsätzlich nicht Umformungen einer Gleichung in dieselbe Gleichung einsetzen.

x^2 + x + 1 = 0

x^2 = - x - 1

Setzen wir das jetzt mal für x^2 um es wegzubekommen

(- x - 1) + x + 1 = 0

0 = 0

Oh. Damit müssten dann ja alle x die Gleichung erfüllen.

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Ich darf doch grundsätzlich nicht Umformungen einer Gleichung in dieselbe Gleichung einsetzen.

Hier wird das bestritten:

Nicht üblich (im Sinne von "macht man höchst selten") bedeutet ja nicht, dass man es nicht darf.

Ich sehe es genauso wie du. So einen Unfug sehe ich zum ersten Mal.

Answer 3

x^2+x+1 = 0

pq-Formel:

-0,5+-√(0,25-1)

Keine Lösung in R, weil der Term unter der Wurzel negativ ist.

Du darfst nicht durch x   teilen, weil x auch 0 sein könnte. x ist auf ganz R definiert, auch für x=0.

Das Einsetzen von Zwischenergebnissen ist nicht üblich, hier sogar verboten.

So eine komische Art, eine Gleichung zu lösen, habe ich noch nie gesehen. Grausam!

Comments

Du darfst nicht durch x teilen, weil x auch 0 sein könnte. x ist auf ganz R definiert, auch für x=0.

Wer lesen kann ist klar im Vorteil.

Bei a) wurde eindeutig geschrieben, dass das x, durch das man teilt,

<>0

(also ungleich 0) ist.

Wie man mit einer Probe schnell feststellen kann, besteht bei

x²+x+1=0

nicht die Gefahr, dass 0 eine Lösung sein kann. Somit ist die genannte Division legitim.

Das Einsetzen von Zwischenergebnissen ist nicht üblich, hier sogar verboten.

Nicht üblich (im Sinne von "macht man höchst selten") bedeutet ja nicht, dass man es nicht darf. Welche dir bekannte Regel führt dich zu der Aussage, dass es verboten ist?

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So eine komische Art, eine Gleichung zu lösen, habe ich noch nie gesehen. Grausam!

Dann hast du den Sinn der Frage nicht verstanden. Es geht hier meines Erachtens offenbar darum, wo der Fehler bzw. das Problem in diesem "Beweis" ist. Das ist ähnlich zu jenen Beweisen, die 1=2 oder andere widersprüchliche Dinge beweisen, wo dann unauffällig durch 0 dividiert wird. Es ist also durchaus interessant, so eine Rechnung einmal zu betrachten.

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Für mich ist das schlichtweg die absurdeste Art eine banale Standardgleichung zu lösen.

Kein normaler Mensch, der die pq-Formel oder quadr. Ergänzung kennt, käme auf eine so komische Idee. Der Definitionsbereich ist zudem nicht explizit genannt. Eher noch käme die abc-Formel infrage als dieser Unfug.

Das Geschmiere hinter a) würde bei manchem Lehrer zum Punktabzug führen.

Wer so eine solche Gleichung so absurd zu lösen versucht, darf sich nicht wundern, dass Mist rauskommt und er am Ende dumm aus der Wäsche schaut.

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Für mich ist das schlichtweg die absurdeste Art eine banale Standardgleichung zu lösen.

Natürlich macht man das nicht. Es ging aber auch nicht um das reine Lösen der Gleichung, denke ich, sondern darum, warum diese scheinbar richtige Umformung zu einem falschen Ergebnis führt. Wer Mathematik betreibt, sollte solche Fallstricke kennen. Das also gleich als Unfug abzutun, halte ich für etwas hochgegriffen.

Das Geschmiere hinter a) würde bei manchem Lehrer zum Punktabzug führen.

Schreiben würde das so auf Papier niemand, aber gerade in der Informatik und diversen Programmiersprachen ist <> die übliche Notation für ungleich. Insofern ist es an dieser Stelle auch vollkommen in Ordnung.

Wer so eine solche Gleichung so absurd zu lösen versucht, darf sich nicht wundern, dass Mist rauskommt und er am Ende dumm aus der Wäsche schaut.

Wenn die Intention der Frage ist, WARUM Mist herauskommt, ist das wirklich eine gute Frage, denn wie schon gesagt, sollte man derartige Fallstricke kennen bzw. zeigt das, wie präzise man in der Mathematik sein muss. Für denjenigen, der aus Spaß an der Freude nur ein paar Gleichungen löst ist das natürlich völlig uninteressant. Jemand, der aber die Logik hinter der Mathematik nachvollziehen möchte, der fragt sich zu Recht, warum scheinbar richtige Lösungen zu einem falschen Ergebnis führen.

Answer 4

Chat-GPT:

Tatsächlich liegt der Fehler nicht in den Umformungen, sondern in der Annahme, dass man den Ausdruck "x+1=-1/x" in "x²-1/x=0" umwandeln kann. Diese Umformung ist nicht korrekt.

Es ist wichtig, die Umformungen sorgfältig durchzuführen und sicherzustellen, dass sie mathematisch korrekt sind.

Comments

Was lernt man daraus? Das Chat-GPT offensichtlich genauso schlecht geschriebene Sätze interpretieren kann wie viele Schüler?

Der Ausdruck x + 1 = -1/x wurde nicht umgeformt zu x² - 1/x = 0.

Und Personen die nicht hinterfragen was Chat-GPT so von sich gibt und das 1:1 für Ihre Aufgaben benutzen sollten nicht enttäuscht sein, wenn sie dafür ein mangelhaft erhalten.

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Ja, ich wollte das nur mal testen.

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Dazu ein Tipp: Es ist natürlich effektiver ein System zu testen, wenn du selber die Ergebnisse bewerten kannst, ob sie richtig oder falsch sind.

Ich setze mit meinen Schülern oft Chat-GPT bewusst ein. D.h. nie ohne Kontrolle und mit einer Bewertung der Ergebnisse.

Answer 5

einsetzen c)-->a) x²-1/x=0

Durch Einsetzen machst du aus einem Gleichungsystem ein anderes Gleichungssystem.

Wenn du c) in a) einsetzt, dann hast du aus dem Gleichungsystem G₁, das nur aus der Gleichung a) besteht, das Gleichungssystem G₂ gemacht, welches aus der Gleichung c) und der Gleichung

        \(x^2-\frac{1}{x}=0\)

besteht.

Weil c) und a) äquivalent sind, haben die Gleichungssysteme G₁ und G₂ die gleiche Lösungsmenge.

f)x=1

Das ist eine Lösung einer Gleichung von G₂. Es gibt aber keinen Grund, warum das auch eine Lösung der anderen Gleichung von G₂ und somit Lösung des Gleichungssystems G₂ sein sollte.