Beweis von linearer Unabhängigkeit

Question

Aufgabe:

Seien V ein K-Vektorraum und v1₁, . . . , vn_n ∈ V , n ≥ 2. Beweisen oder widerlegen
Sie die folgenden Aussagen:
(a) Falls v₁, . . . , v_n-1 linear unabhängig sind, dann sind auch v₁, . . . , v_n linear unabhängig. (1 Punkte)
(b) Falls v₁, . . . , v_n-1 linear abhängig sind, dann sind auch v₁, . . . , v_n linear abhängig.

(c) Falls v₁, . . ., v_n linear unabhängig sind, dann sind auch v₁, . . . , v_n-1 linear
unabhängig. (1 Punkte)
Beweisen Sie außerdem:
(d) Die Vektoren v₁, . . . , v_n sind linear abhängig genau dann, wenn ein 1 ≤ i ≤ n existiert mit vi ∈ ⟨v₁, . . . , v_i-1, v_i+1, . . . , v_n⟩. (3 Punkte)
(e) Die Vektoren v₁ .. , v_n sind linear abhängig genau dann, wenn ein 1 ≤ i ≤ n
existiert mit ⟨v₁1 . . . , v_nn⟩ = ⟨v₁, . . . , v_i-1, v_i+1, . . . , v_n⟩.

Problem/Ansatz:

a ist falsch da habe ich ein gegenbeispiel gefunden.

b denke ich ist richtig, da ja die Linearkombination eigentlich nur erweitert wird um ein kn_n und wenn dieses k gleich 0 ist gibt es ja vorher immer noch ein k gibt was nicht gleich 0 ist

bei c bin ich mir nicht sicher. Wenn es Falsch ist müsste es ein gegenbeispiel geben aber mein Bauchgefühl sagt eher das es richtig ist. Aber wie kann ich das richtig erklären. Oder kann mir jemand ein Gegenbeispiel zeigen.

und bei d und e. Wie kann ich beide Aussagen korrekt beweisen?

Answer 1

Dein Argument für (b) ist vollkommen richtig.

(c)

Das kannst du per Widerspruchsbeweis sofort mit (b) zeigen. Denn wenn \(v_1,\ldots, v_{n-1}\) linear abhängig wären, dann müssten wegen (b) auch \(v_1,\ldots,v_n\) linear abhängig sein.

(d)

Es gibt laut Voraussetzung eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors \(o\):

\(\displaystyle o = \sum_{i=1}^n a_iv_i\) mit einem \(a_{i_0} \neq 0\)

Das ist äquivalent zu

\(\displaystyle v_{i_0} = \frac 1{a_{i_0}}\sum_{{i=1} \atop {i\neq i_{0}}}^n a_iv_i\)

Bekommst du den Rest jetzt selbst hin?

Comments

Hallo danke für deinen Kommentar erstmal.

zu c frage ich mich aber, wie dieses Argument hilft, um c zu beweisen, da wir dort ja andersrum also von v₁...v_n auf v₁...v_n-1 schlussfolgern, dass wenn ersteres linear unabhängig ist, zweites auch linear unabhängig ist.

und zu d verstehe ich was du meinst, aber wirklich wissen wie es weitergeht, weiß ich ehrlich gesagt nicht wirklich, kannst du mir das vielleicht sagen?

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Hallo danke für deinen Kommentar erstmal.

zu c frage ich mich aber, wie dieses Argument hilft, um c zu beweisen, da wir dort ja andersrum also von v₁...v_n auf v₁...v_n-1 schlussfolgern, dass wenn ersteres linear unabhängig ist, zweites auch linear unabhängig ist.

und d müsste ich hinbekommen haben. Kann ich dann den gleichen Ansatz auch für e verwenden, oder funktioniert es dort anders?