Welcher Grenzwert stimmt?

Question

Aufgabe:

Seien \( X=\{1,2,3\} \) mit der Topologie \( \mathcal{O}=\{\varnothing, X,\{1,2\},\{3\}\} \) und \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X \) die Folge mit \( x_{n}=1 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=1 \),
(b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=2 \),
(c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=3 \).

Problem/Ansatz:

Eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X \) konvergiert mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \) genau dann, wenn es für jede offene Menge \( U \subseteq X \) mit \( x \in U \) ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \) gibt, sodass für jedes \( n \geq n_{0} \) gilt: \( x_{n} \in U \).

Ich verstehe nicht so ganz wie ich das jetzt behandeln soll

Answer 1

a)  Da wäre zu zeigen:

Für jede offene Menge \( U \subseteq X \) mit \( 1 \in U \) ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \) gibt, sodass
für jedes \( n \geq n_{0} \) gilt: \( x_{n} \in U \).

Offene Mengen U mit \( 1 \in U \) wären:

1. U=X.  Dann ist mit xo=1 erfüllt:   Für jedes \( n \geq n_{0} \) gilt: \( x_{n} \in U \)
denn es ist ja immer \( x_{n} = 1 \).

2. U={1,2}   .  dito

Also gilt   \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=1 \)

b)  Offene Mengen U mit \( 2 \in U \) wären

1. U=X. Dann ist mit xo=1 erfüllt:   Für jedes \( n \geq n_{0} \) gilt: \( x_{n} \in U \).

2. U={1,2}  . dito              

Also gilt   \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=2 \)

c) Offene Mengen U mit \( 3 \in U \) wäre z.B.  U={3}  .            
Aber es gibt kein no mit für alle \( n \geq n_{0} \) gilt: \( x_{n} \in U \).

Denn die xn sind ja immer gleich 1.

Also gilt NICHT    \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=3 \)