Ver(M,*,e) := {(a|b)|(c|d) ∈ (M × M) × (M × M) : a * d = c * b}
Also ist Ver(N,+,0) ={(a|b)|(c|d) ∈ (ℕo× ℕo) × (ℕo× ℕo) : a + d = c + b}
Das bedeutet : Die Paare (a|b) und (c|d) stehen in dieser Relation
(kurz auch (a|b) ~ (c|d) geschrieben) genau dann,
wenn a + d = c + b gilt.
Für "Äquivalenzrelation" musst du drei Dinge prüfen:
1. "reflexiv", also steht jedes Paar mit sich selbst in dieser Relation
gilt also immer (a|b) ~ (a|b) also prüfe a+b = b+a
Das gilt in (ℕo , + ) für alle a,b. Also ist die Rel. reflexiv.
2. "symmetrisch" Gilt also (a|b) ~ (c|d) ==> (c|d) ~ (a|b) ?
Dazu überlege: (a|b) ~ (c|d)
Def. der Rel. anwenden:
==> a + d = c + b
==> c + b = a + d
==> (c|d) ~ (a|b). Also Rel. symmetrisch.
3. "transitiv" Gilt immer
(a|b) ~ (c|d) und (c|d) ~ (e|f) ==> (a|b) ~ (e|f) ?
Def. der Rel. anwenden:
==> a + d = c + b und c + f = e + d
==> d=c+b-a und c + f = e + d
==> c + f = e + c+b-a
==> a + f = e + b
==> (a|b) ~ (e|f) . Also Rel. auch transitiv.
Das bedeutet insgesamt: Es ist eine Äquivalenzrelation.