Ist Ihre Abbildung monoidalitätskonform?

Question

Sei (M,*,e) ein Monoid. Auf der Menge M × M sei die Relation Ver(M,*,e) := {(a|b)|(c|d) ∈ (M × M) × (M × M) : a * d = c * b} gegeben. Weisen Sie nach, dass Ver(N,+,0) eine Äquivalenzrelation ist, wobei (N,+,0) das Monoid der natürlichen Zahlen mit Addition und Null ist. Konstruieren Sie eine Ihnen sinnvoll erscheinende Addition auf der Quotientenmenge N × N/Ver(N,+,0), sowie eine vernünftige bijektive Abbildung von N × N/Ver(N,+,0) zur Menge Z der ganzen Zahlen. Ist Ihre Abbildung monoidalitätskonform?

Hinweis

Relation Ver(M,*,e) besagt, dass zwei Paare (a,b) und (c,d) in Relation stehen, wenn sie dasselbe Verhältnis beschreiben, also wenn a : b = c : d gilt. Nun kann man in einem Monoid nicht unbedingt teilen, daher wird diese Verhältnisgleichung mit b und d bezüglich * multipliziert, was die Gleichung a * d = c * b liefert.

Ich habe leider keinen Ansatz. Was ist die Relation Ver. Kann jemand mir helfen und mir einen Ansatz geben und mir beim lösen helfen

Answer 1

Ver(M,*,e) := {(a|b)|(c|d) ∈ (M × M) × (M × M) : a * d = c * b}

Also ist  Ver(N,+,0) ={(a|b)|(c|d) ∈ (ℕo× ℕo) × (ℕo× ℕo) : a + d = c + b}

Das bedeutet :  Die Paare (a|b) und (c|d) stehen in dieser Relation

(kurz auch  (a|b) ~ (c|d)   geschrieben) genau dann,

wenn  a + d = c + b gilt.

Für "Äquivalenzrelation" musst du drei Dinge prüfen:

1. "reflexiv", also steht jedes Paar mit sich selbst in dieser Relation

gilt also immer   (a|b) ~ (a|b)  also prüfe a+b = b+a

Das gilt in (ℕo , + ) für alle a,b. Also ist die Rel. reflexiv.

2. "symmetrisch" Gilt also (a|b) ~ (c|d) ==>  (c|d) ~ (a|b) ?

Dazu überlege:  (a|b) ~ (c|d)

            Def. der Rel. anwenden:

             ==>    a + d = c + b

            ==>     c + b =  a + d

             ==>  (c|d) ~ (a|b).   Also Rel. symmetrisch.

3. "transitiv"  Gilt immer

       (a|b) ~ (c|d)  und   (c|d) ~ (e|f)   ==>     (a|b) ~ (e|f) ?

Def. der Rel. anwenden:

==>         a + d = c + b und   c + f = e + d

==>        d=c+b-a   und   c + f = e + d

==>                          c + f = e + c+b-a

==>                          a + f =  e + b

==>         (a|b) ~ (e|f) .   Also Rel. auch transitiv.

Das bedeutet insgesamt: Es ist eine Äquivalenzrelation.

Comments

Ah danke schön und wie zeige ich: Ist Ihre Abbildung monoidalitätskonform?

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Dazu müsste erst mal erledigt werden:

Konstruieren Sie eine Ihnen sinnvoll erscheinende Addition auf der Quotientenmenge N × N/Ver(N,+,0), sowie eine vernünftige bijektive Abbildung von N × N/Ver(N,+,0) zur Menge Z der ganzen Zahlen.

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Ich verstehe die Aufgabe nicht. Was bedeutet das überhaupt

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Die Quotientenmenge N × N/Ver(N,+,0) besteht ( s. Hinweis)

aus den Paaren, mit gleichen Verhältnissen (wegen + also Differenzen).

Das sind also diejenigen, die als Differenz geschrieben (a-b)

den gleichen Wert haben. Diese Differenzen beschreiben also

positive und negative ganze Zahlen.

(Wenn man es mit * macht, kann man auf diese Weise

Bruchzahlen definieren, vielleicht hattet ihr das in der Vorlesung.)

Mein Tipp:

Probiere mal die Addition der Paare durch

(a|b)+(c|d) =( a + d | c + b)

Und die bijektive Abbildung wäre dann wohl

N × N/Ver(N,+,0) → ℤ  

Die Klasse, die das Paar (a|b) enthält wird abgebildet auf a-b.

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Warum ist die Form a+d=b+c und nicht mit * wie es oben steht

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Und wie zeige ich das

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Da stand doch:

wobei (N,+,0) das Monoid der natürlichen Zahlen mit Addition und Null ist.