Kos berechnen? Wie groß ist der Kosinus des Winkels in einem Würfel ohne gegebene Vektoren.

Question

Aufgabe:

Ein Würfel der Kantenlänge 2 sei, wie skizziert, in einem kartesischen Koordinatensystem
platziert. Wie groß ist der Kosinus des Winkels

a) zwischen BD und BC

b) zwischen BD BA

Problem/Ansatz:

Da es sich um die Berechnung des Winkels handelt weiß ich, dass ich wahrscheinlich cos()= \( \frac{BD * BC }{||BD|| ||BC||} \)  Aber ich habe ja gar keine Vektoren. Also muss ich die Konstruieren. Da kenne ich auch den Ansatz das wäre für BD =   . \( \begin{pmatrix} b1-d1\\b2-d2\\b3-d3 \end{pmatrix} \) . Ich denke A ist bei \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) dann wäre D bei \( \begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix} \) B dann bei \( \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \) Dann wäre BD \( \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} \) das gleiche dann für BC \( \begin{pmatrix} 0\\0\\-2 \end{pmatrix} \)   Dann alles ausrechnen also ||BD||=2  ||BC||=2          BD * BC = 4 also                                                                                                         cos()= 1 aber wie bekomme ich daraus den winkel, wenn ich das in den taschenrechner eingebe kommt nur eine kryptische zahl raus.

Comments

cos()= 1 aber wie bekomme ich daraus den winkel, wenn ich das in den taschenrechner eingebe kommt nur eine kryptische zahl raus.

Was gibst Du denn ein?

---

Ich habe einen Fehler in meiner Rechnung es ist der Winkel 54,736, aber kann das richtig sein, dass so ein Winkel im Würfel drin ist?

---

ist der Winkel 54,736

Eher etwa 54,736 Grad. Oder arctan(\( \sqrt{2} \) )

Answer 1

Nach dem den Winkeln wird doch gar nicht gefragt, sondern nur nach den zugehörigen Kosinuswerten. Bei a) liefert also $$\frac{BD \cdot BC }{||BD||\cdot ||BC||}=\dots$$ das gesuchte Ergebnis.

Comments

stimmt. Das gut, weil bei dem zweiten habe ich auch einen Wert größer 1 raus den kann ich nicht eingeben.

---

...bei dem zweiten habe ich auch einen Wert größer 1 raus...

Der Wert sollte auch bei diser Deutung der Aufgabenstellung nicht größer als 1 sein. Irgendetwas stimmt also nicht.

Answer 2

Es ist mir unbegreiflich, wieso du bei den Kosinusberechnungen krampfhaft auf Vektoren zurückgreifen willst.

Es handelt sich in beiden Fällen um Winkel in rechtwinkligen Dreiecken, die mit

\( cos\phi=\frac{Ankathete}{Hypotenuse} \)

völlig problemlos zu bestimmen sind.

Auch die Kenntnisse, dass im Würfel die Flächen- und die Raumdiagonale das \( \sqrt{2} \)fache bzw. das \( \sqrt{3} \)fache der Kantenlänge sind, darf man aus Klasse 9 durchaus mitbringen.

Comments

Na ja, wenn die Aufgabe im Zusammenhang "Rechnen mit Vektoren" und "Winkel zwischen Vektoren" gestellt wird, nutzt man eben die in diesem Zusammenhang entwickelten Werkzeuge und überprüft dann vielleicht die Wirkung dieser Werkzeuge mit dem Bastelkasten aus der Mittelstufe.

Deine Ausführungen sind also völliger Unsinn!

---

Deine Ausführungen sind also völliger Unsinn!

Die Aussage

Es ist mir unbegreiflich,

ist nicht zwingend völliger Unsinn. Wenn es ihm unbegreiflich ist, dann ist es ihm unbegreiflich.

---

Als Unsinn würde ich das nicht abtun. Man sollte schon wissen, dass diese Möglichkeit besteht.

---

Der Ganze Abschnitt heißt Vektoren und im Skript sind auch nur Vektoren erklärt und das Arbeitsblatt mit der Aufgabe hat auch noch 12 weitere Aufgaben abgesehen von der, die auch alle über Vektoren sind. Da ist es für mich einfach naheliegend, dass der Dozent erwartet, dass wir mit Vektoren arbeiten. Das es noch andere Möglichkeiten gibt sone Aufgaben zu lösen habe ich einfach nicht auf dem Schirm die neunte Klasse ist bei mir auch schon paar Jahre her.

---

Es ist mir unbegreiflich, wieso du bei den Kosinusberechnungen krampfhaft auf Vektoren zurückgreifen willst. Es handelt sich in beiden Fällen um Winkel in rechtwinkligen Dreiecken, die mit \( cos\phi=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}\) völlig problemlos zu bestimmen sind. Spätfolgen eines Bulimielernens in Klasse 9?

Ich fasse zusammen: Der Frager teilt die ihm gestellte Aufgabe in angemessener Form nachvollziehbar mit und wird vom Antwortgeber abgebürstet.

---

Als Unsinn würde ich das nicht abtun. Man sollte schon wissen, dass diese Möglichkeit besteht.

Ja, das habe ich auch nicht gemeint. Bisweilen soll es vorkommen, dass man mit Schulwissen Aussagen aus der Fort- und Weiterbildung überprüfen und bestätigen kann.

---

Deine Ausführungen sind also völliger Unsinn!

Hast du nicht gemeint. Achso.

---

Ja, dieser scheinbare Widerspruch ist eine kleine Herausforderung...

Answer 3

Hallo,

... Aber ich habe ja gar keine Vektoren.

die brauchst Du gar nicht! Es reicht aus, sich eine Skizze von dem Viereck \(ABCD\) zu machen. Die sieht so aus:

dort findest Du den Winkel zwischen BD und BC also \(\angle CBD\) (blau) und das rechtwinklige Dreick \(\triangle DBC\). Es gilt Cosinus gleich Ankathete zu Hypotenuse$$\cos(\angle CBD) = \frac{|BC|}{|BD|}$$Setze dazu \(|BC|=1\) - es ist völlig egal wie groß der Würfel ist, die Winkel ändern sich nicht durch die Größe des Würfels, Dann ist \(|CD|= \sqrt{2}\) (Warum?) und ebenso aus dem Pythagoras folgt$$|BD|=\sqrt{|BC|^2+|CD|^2} = \sqrt{3}$$Also ist $$\cos(\angle CBD) = \frac{|BC|}{|BD|}= \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3}$$und den Winkel zwischen BD BA kannst Du entweder genauso berechnen oder aus dem Zusammenhang $$\cos\left(\angle DBA\right) = \cos\left(90°- \angle CBD\right) = \sin\left(\angle CBD\right) = \sqrt{1- \cos(\angle CBD)^2} = \frac{1}{3}\sqrt{6}$$ Gruß Werner