Monotonie und Krümmungsverhalten von f(x)=1/2x^4-2x^2+4

Question

Aufgabe:

f(x)=1/2x^4-2x^2+4

Problem/Ansatz:

Ich soll das Monotonie und das Krümmungsverhalten angeben aber ich weiß leider nicht wie

Answer 1

f(x) = 1/2·x^4 - 2·x^2 + 4
f'(x) = 2·x^3 - 4·x
f''(x) = 6·x^2 - 4

Monotonie

f'(x) = 2·x^3 - 4·x = 2·x·(x^2 - 2) ≥ 0 --> -√2 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ √2

Monoton steigend im Intervall [-√2 ; 0] ∪ [√2 ; ∞[.

Monoton fallend im Intervall ]-∞ ; -√2] ∪ [0 ; √2].

Krümmungsverhalten

f''(x) = 6·x^2 - 4 ≥ 0 --> x ≤ -√6/3 ∨ x ≥ √6/3

Linksgekrümmt im Intervall ]-∞ ; -√6/3] ∪ [√6/3 ; ∞[.

Rechtsgekrümmt im Intervall [-√6/3 ; √6/3].

Comments

PS. Einige nehmen die Nullstellen mit in die Intervalle und andere lassen die Nullstellen aus den Intervallen raus.

Ich benutze die Definition der Monotonie bzw. der Krümmung und nehme die Nullstellen mit in die Intervalle.

Frag aber gerne deine Lehrkraft, wie du mit den Nullstellen verfahren sollst.

Answer 2

Monotonie bestimmt man über die erste Ableitung, das Krümmungsverhalten über die zweite Ableitung. Wann welcher Fall eintritt, solltest du deinen Unterlagen entnehmen. Beschäftige dich damit, dann weißt du auch wie.

Tipp: das Verhalten kann sich nur bei den Nullstellen der entsprechenden Ableitungen ändern. Damit solltest du dann komplette Bereiche (von... bis...) angeben können.

Comments

Ja danke aber wie schreibt man das richtig auf damit meine Lehrerin zufrieden ist

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\( f'(x) = ... \)

\( f''(x) = ... \)

Monotonie: \( f'(x) =0 \) 

\(... = 0 \)

\( x_1 = ... \), \( x_2= ... \)

Dann stellen davor, dazwischen und danach raussuchen und auf steigend/fallend untersuchen.

\( (-\infty ; x_1): \) monoton steigend/fallend

\( (x_1 ; x_2): \) ...

\( (x_2; \infty): \) ...

Krümmungsverhalten: \( f''(x)=0\)

Aufschrieb analog wie oben.