Bestimmen Sie 1+2^{n}+2^{2 n} \quad \bmod 7

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie
\( 1+2^{n}+2^{2 n} \quad \bmod 7 \)
in Abhängigkeit von \( n \in \mathbb{N} \).

Problem/Ansatz:

also die einzigen LÖsungen sind 0 und 3 die Modulo 7 rauskommen.

n=0 mod 3 -> das Ergebnis ist 3 in modulo 7

n=1 oder 2 mod 3 -> das Ergebnis ist 0 modulo 7

Muss ich da jetzt noch was beweisen?

Answer 1

Deine Lösung ist richtig.

Für eine vollständige Lösung sollte man aber hinschreiben, dass

\(2^3\equiv 1 \: (7)\) und \(4^3 \equiv 1 \:(7)\)

Deshalb muss man nur \(n\equiv 0,1,2 \: (3)\) betrachten.

Dann schreibt man die 3 Rechnungen hin und hat damit eine vollständige Lösung.