Bestimmen sie u so, dass ein Dreieck einen maximalen Flächeninhalt hat.

Question

Aufgabe:

Der Graph mit f(x)= 1/8*(x^3-3x^2-9x+43) schneidet die Gerade g mit der Gleichung y=2 in den Punkten A(-3|2) und D (3|2). Für u kleiner gleich 3 und größer gleich -3 bilden die Punkte A, B(u|2) und C(u|f(u)) ein Dreieck.

Bestimmen sie u so, dass ein Dreieck einen maximalen Flächeninhalt hat.

Problem/Ansatz:

Wie komme ich auf die Nebenbedingung? Die Hauptbedingung ist ja A=0,5*g*h

Comments

So sieht f(x) aus:

https://www.wolframalpha.com/input?i=1%2F8*%28x%5E3-3x%5E2-9x%2B43%29+from+-3+to+3

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so sieht das ganze in 3D aus.

Die blaue Fläche ist die Hauptbedingung. Die rote Kurve ist die Nebenbedingung und die orangen Kurven sind die Höhenlinien der blauen Fläche. Der grüne Punkt zeigt Dir das Maximum an.

Answer 1

Nebenbedingungen

g = u - (-3) = u + 3

h = f(u) - 2 = 1/8·(u^3 - 3·u^2 - 9·u + 43) - 2

Zielfunktion

A = 1/2·g·h = 1/2·(u + 3)·(1/8·(u^3 - 3·u^2 - 9·u + 43) - 2) = 1/16·u^4 - 9/8·u^2 + 81/16

A' = 1/4·u^3 - 9/4·u = 0 --> u = 0 (Die Ränder bei u = -3 und u = 3 bilden eine Fläche von 0)

Comments

Danke! Aber wie kommst du auf die nebenbedingung?

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Skizziere dir für 2 bis 3 Werte von u mal das Dreieck ins Koordinatensystem ein und versuche zu ermitteln wie du die Grundseite und die Höhe in Abhängigkeit von u berechnen kannst.

Du kannst das ganze auch in Geogebra dynamisch machen, sodass du u mit einem Regler frei aus dem Intervall [-3 ; 3] wählen kannst.

PS: Ich bezeichne die horizontale Seite im Dreieck als Grundseite und die vertikale Seite als Höhe.