Zaubertrank, Katzengold und Lagrange

Question

Aufgabe:

Prof. Snape hat ein Optimiserum für die Schülerinnen und Schüler von Hogwarts entwickelt, dieses enthält Eulenfeder und Fuchshaare. Die Punktezahl $Y$ beim Abschlusstest im Fach „Zaubertränke" in Abhängigkeit von der Menge $E$ von Eulenfeder und $F$ für Fuchshaare (in $\mathrm{mg}$ ) ist durch die Funktion $Y=10 E^{2 / 5} F^{3 / 10}$ gegeben. Ein mg Eulenfeder kostet 4 Unzen Katzengold, ein mg Fuchshaare kostet 3 Unzen Katzengold. Jede Schülerin und jeder Schüler bekommt ein Budget von 350 Unzen Katzengold, welches für das Serum verwendet werden kann.

(a) Formulieren Sie das Optimierungsproblem der Schüler*innen, um ihre Punkte zu maximieren. Warum kann man die Nebenbedingung als Gleichung formulieren?

(b) Lösen Sie das Optimierungsproblem mit der Methode von Lagrange.

(c) Ermitteln Sie die Hesse-Matrix der Zielfunktion. Handelt es sich bei der optimalen Lösung um ein globales Maximum? Begründung!

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir mit dem Rechenweg dieser Aufgabe helfen? Danke im Voraus!

Comments

Diese Aufgabe belegt, wie in der Schule die Anwendung von Mathematik umgesetzt wird.

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In der Schule kommen m.W. Funkionen mit 2 Variablen nicht vor.

Zum Einprägung der Problematik ist es sicher ein gutes, weil anschauliches Beispiel.

vgl:

„Gedanken ohne Inhalt sind leer, Anschauungen ohne Begriffe sind blind."

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ggT22, hast du schon mal was von Funktionenscharen gehört?

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Was hat das mit dieser Aufgabe zu tun, wo es um Lagrange und Hesse geht?

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Es geht um Aufgabe a). Und übrigens: Das Prinzip der Pseudoanwendung findet man in der Schule genau so, wie in der Uni.

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Wie rechnest du a)?

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Ich fasse f(E,F) als f_E(F) auf und bestimme die Ortslinie der Maxima von f_E(F) mit dem Funktionsterm g(F). Das Maximum von g ist die Lösung des Optimierungsproblems.

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Kannst du mir den genauen Lösungsweg aufzeigen? Wie macht man das hier?

PS:

Ich fand dieses Zitat:

"Der Schüler hält seine Arbeit für schwer,
doch sie bedeutet nur Wagen zu sein,
wo der Lehrer Pferd sein muss."

(August Strindberg)

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ggT22, dein Text:

In der Schule kommen m.W. Funktionen mit 2 Variablen nicht vor.

Auf diesen Kommentar habe ich geantwortet.

Aber: Das geht alles an meiner Meinung vorbei, dass viele sogenannte Anwendungen nicht Realistisches an sich haben.

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Vielleicht hat ggT schon die letzte Lehrplanänderung berücksichtigt, nach der der Flächeninhalt A = a·b eines Rechtecks nicht mehr unterrichtet wird.

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Diese Antwort hat mir nicht wirklich wirklich weitergeholfen.

Wie wende man das hier an, was du meinst und ich in diesem Zusammenhang nicht kenne.

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ggT22, mein Eindruck ist, dass du dich hartnäckig sträubst zu erkennen:

Viele sogenannte Anwendungen haben nichts Realistisches an sich .

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Du hast das geantwortet:

ggT22, hast du schon mal was von Funktionenscharen gehört?

Und ich wollte nur die Lösung mit diesen Scharen von dir hören.

Man könnte die Aufgabe sicher auf reale ökonomische Fälle ummünzten, wie sie hier immer wieder vorkommen. Du musst nur im Forum suchen.

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Ich fasse f(E,F) als f_EF) auf und bestimme die Ortslinie der Maxima von f_E(F) mit dem Funktionsterm g(F). Das Maximum von g ist die Lösung des Optimierungsproblems.

Den Ansatz hat er doch genannt.

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Und ich wollte nur die Lösung mit diesen Scharen von dir hören.

Lösung = ausführlicher Lösungsweg

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Schau mal in den Community-Chat. Dort kannst du lesen, wie deine Beiträge hier eingeordnet werden.

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Der Chat interessiert mich nicht. Dafür aber eine Antwort auf meine Frage.

Mir reicht es schon, was hier im Forum an Intrigen und Gehässigkeiten läuft.

Von Intoleranz ganz zu schweigen.

Willst du sie mir nicht geben? Kann nicht auch mal einer mir etwas vorrechnen?

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Wenn du zu irgendwelchen Erkenntnissen gelangen willst (auch Selbsterkenntnis) ist es schon wichtig, auch kritische Rückmeldungen in das eigene Denken einzubeziehen. Warum sollte ich auf Argumente eines Gesprächsteilnehmers eingehen, der seinerseits fast alle Argumente unbeachtet lässt?

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Ich habe dich um etwas gebeten. Das hat mit Selbsterkenntisnis hier nichts zu tun.

Wenn du mir den Gefallen nicht tun willst, dann lass es und vergiss es, aber vermenge nicht zwei Sachverhalte. Meine Bitte war eindeutig:

Kannst du mir den genauen Lösungsweg aufzeigen? Wie macht man das hier?

Auch ich kann mal keine Lust zum Rechnen haben.

Was meinst du hier mit Argumenten? Ich wollte eine klare Antwort und keinen Nebenkriegsschauplatz.

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Viele sogenannte Anwendungen haben nichts Realistisches an sich.

Ich halte obiger Aufgabe zugute, dass sie garnicht erst vorzutäuschen versucht, etwas Realistisches an sich zu haben.

Answer 1

Zielfunktion :

$Y=10 E^{0,4} F^{0,3}$ soll maximal werden.

Nebenbedingung:

$4E+3F=300$  Warum als Gleichung? Falls man die Aufgabe ohne λ löst , muss man ja nach E oder F auflösen. Das geht nur, wenn eine Gleichung vorliegt.

Was soll denn sonst $4E+3F-300$ bedeuten?

$Y(E,F,λ)=10 E^{0,4} F^{0,3}+λ(4E+3F-300)$

$\frac{dY(E,F,λ)}{dE} = 10 \cdot 0,4 \cdot E^{0,4-1} \cdot F^{0,3}+4λ$

1.)

$10 \cdot 0,4 \cdot E^{0,4-1} \cdot F^{0,3}+4λ=0$

$10 \cdot 0,4 \cdot E^{-0,6} \cdot F^{0,3}+4λ=0$

$\frac{dY(E,F,λ)}{dF} = 10 E^{0,4} \cdot 0,3\cdot F^{0,3-1}+3λ$

2.)

$10 E^{0,4} \cdot 0,3\cdot F^{0,3-1}+3λ=0$

$10 E^{0,4} \cdot 0,3\cdot F^{-0,7}+3λ=0$

$\frac{dY(E,F,λ)}{dλ}=4E+3F-300$

3.)

$4E+3F-300=0$

Answer 2

Das Problem ist also Maximum von $y=10E^{\frac{2}{5}} \cdot F^{\frac{3}{10}}$

unter der Nebenbedingung 4E+3F=350.

Gleichung, weil man ja davon ausgehen kann, dass für ein Maximum

alles Katzengold ausgegeben werden muss.

Dann ist die Lagrangefunktion:

$L(E,F,\lambda) = 10E^{\frac{2}{5}} \cdot F^{\frac{3}{10}} +\lambda(4E+3F-350)$

$= 10E^{\frac{2}{5}} \cdot F^{\frac{3}{10}} +4 \lambda E+3 \lambda F-350\lambda$

Ableitungen bilden:

$\frac{dL}{dE}(E,F,\lambda) = 10\cdot \frac{2}{5} \cdot E^{\frac{-3}{5}} \cdot F^{\frac{3}{10}} +4 \lambda = 4 \cdot E^{\frac{-3}{5}} \cdot F^{\frac{3}{10}} +4 \lambda$

$\frac{dL}{dF}(E,F,\lambda) = 10\cdot \frac{3}{10} \cdot E^{\frac{2}{5}} \cdot F^{\frac{-7}{10}} +3 \lambda = 3 \cdot E^{\frac{2}{5}} \cdot F^{\frac{-7}{10}} +3 \lambda$

$\frac{dL}{d \lambda}(E,F,\lambda) = 4E+3F-350$

Alle gleich 0 setzen und versuchen E, F und λ zu berechnen.

Ich erhalte E=F=50 . Da ist in der Tat das Maximum

von ca. 154,6 Punkten.